Chủ đề này có 2 trả lời

[Nguyen Dang Khoa 17112003]

cho 3 số thực dương a,b,c sao cho  $a+b+c=1; Tìm min  P=2(a^2b+b^2c+c^2a)+(a^2+b^2+c^2)+4abc$

[minhducndc]

Ta có $P=2(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)+a^{2}+b^{2}+c^{2}+4abc$

Do $a+b+c= 1\Rightarrow P=2(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)+(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a+b+c)+4abc$

$P=2(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)+\sum a^{3}+(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})+4abc$

   $= \sum a^{3}+3\sum a^{2}b+6abc-2(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+abc)$

$= (a+b+c)^{3}-2(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+abc)\geq 1-\frac{8}{27}(a+b+c)^{3}= \frac{19}{27}$

Bất đẳng thức phụ $ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+abc\leq \frac{4}{27}(a+b+c)^{3}$ bạn xem, ở đây

https://diendantoanh...b-b2c-c2a-le-4/

[viet9a14124869]

cho 3 số thực dương a,b,c sao cho  $a+b+c=1; Tìm min  P=2(a^2b+b^2c+c^2a)+(a^2+b^2+c^2)+4abc$

Cách khác :

Không mất tính tổng quát ta giả sử a nằm giữa b và c .

Ta sẽ chứng minh $LHS=2(a^2b+b^2c+c^2a)+a^2+b^2+c^2+4abc\geq 2a^2(b+c)+a^2+b^2+c^2+2bc(a+b+c)\Leftrightarrow c(a-b)(c-a)\geq 0$ ( đúng )

Thay b+c=1-a ta đi tìm min của biểu thức $2a^2(b+c)+a^2+b^2+c^2+2bc(a+b+c)=2a^2(1-a)+a^2+b^2+c^2+2bc=2a^2(1-a)+a^2+(1-a)^2=\frac{19}{27}+\frac{2(4-3a)(3a-1)^2}{27}\geq \frac{19}{27}$ ( vì $1>a$ )

Vậy min = $\frac{19}{27}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet9a14124869: 09-09-2017 - 18:10