2 replies to this topic

[TrollMath]

Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{x+5}=\sqrt{y+21} & & \\ \sqrt{y}+\sqrt{y+5}=\sqrt{x+21} & & \end{matrix}\right.$

Edited by huykinhcan99, 30-09-2017 - 22:49.

[myduyen03]

Trừ vế theo vế ta được:

$\sqrt{x}-\sqrt{y}+\sqrt{x+5}-\sqrt{y+5}=\sqrt{y+21}-\sqrt{x+21}$

$\Leftrightarrow \frac{x-y}{x+y}+\frac{x+5-y-5}{\sqrt{x+5}+\sqrt{y+5}}+\frac{x+21-y-21}{\sqrt{x+21}+\sqrt{y+21}}$ $= 0$

$\Leftrightarrow \left ( x-y \right )\left ( \frac{1}{x+y}+\frac{1}{\sqrt{x+5}+\sqrt{y+5}}+\frac{1}{\sqrt{x+21}+\sqrt{y+21}} \right )= 0$

Dễ thấy: $\frac{1}{x+y}+\frac{1}{\sqrt{x+5}+\sqrt{y+5}}+\frac{1}{\sqrt{x+21}+\sqrt{y+21}} > 0$ với mọi $x,y > 0$

$\Rightarrow x = y \Rightarrow \sqrt{x}+\sqrt{x+5}=\sqrt{x+21}$

Đến đây dễ rồi, tự giải

Edited by halloffame, 14-11-2017 - 03:28.

[a1k8chc]

đkxđ: x,y$\geq 0$ 

bình phương 2 vế hpt ta được$\left\{\begin{matrix} 2x+5+2\sqrt{x(x+5)}=y+21 & & \\ 2y+5+2\sqrt{y(y+5)}=x+21 & & \end{matrix}\right.$ trừ trên cho dưới của hpt rồi chuyển vế ta được $3(x-y)+2(\sqrt{x(x+5)}-\sqrt{y(y+5)})=0$ $\Leftrightarrow (x-y)(3+\frac{2(x+y+5)}{\sqrt{x(x+5)}+\sqrt{y(y+5)}})=0\Leftrightarrow x=y$ (biểu thức trong ngoặc luôn >0) $\Rightarrow$$\sqrt{x}+\sqrt{x+5}=\sqrt{x+21}$ ,bình phương 2 vế ta tìm được x=4