7 replies to this topic

[huyqhx9]

Cho a,b,c > 0 , ab+bc+ac=1. Chứng minh:

$\sum \frac{a}{b^{2}+c^{2}+2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{8}$

[hanguyen445]

Cho a,b,c > 0 , ab+bc+ac=1. Chứng minh:

$\sum \frac{a}{b^{2}+c^{2}+2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{8}$

Đưa về chứng minh BĐT $7(a+b+c)+3abc\ge 24$ với $ab+bc+ac=3$

Attached Images

• 

[slenderman123]

Ta có thể quy bài toán trở thành: Cho $ab+bc+ca=3$ CMR $\sum \frac{a}{b^{2}+c^{2}+6}\geq \frac{3}{8}$

Ta có $a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b+c)^{2}-2(ab+bc+ca)=(a+b+c)^{2}-6\Leftrightarrow b^{2}+c^{2}+6=(a+b+c)^{2}-a^{2}$

Suy ra BĐT tương đương $\sum \frac{2a}{2(b+c)(b+c+2a)}\geq \frac{3}{8}\Leftrightarrow \sum \frac{x+y-z}{2z(x+y)}\geq \frac{3}{8} $ với $ x=a+b,x=a+c,z=b+c$ $\Leftrightarrow \sum \frac{1}{x}-\sum \frac{1}{x+y}\geq \frac{3}{4}$ với $\sum \frac{1}{x+y-z}=\frac{3}{2}$

Giờ suy nghĩ để tìm lời giải cho bài này :v 

Edited by slenderman123, 06-10-2017 - 12:03.

[nguyen kd]

đặt $a = \cot A,b = \cot B,c = \cot C$ với A,B,C là 3 góc của tam giác nhọn thử xem.

[hanguyen445]

Đưa về chứng minh BĐT $7(a+b+c)+3abc\ge 24$ với $ab+bc+ac=3$

Chứng minh BĐTb trên nhờ phương pháp dồn biến tạm (Phép chứng minh không được đẹp mắt).

Attached Images

• 

[minhducndc]

Có $\sum \frac{a}{b^{2}+c^{2}+2}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}b+ab^{2}+ac^{2}+a^{2}c+b^{2}c+bc^{2}+2a+2b+2c}= \frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc+2(a+b+c)}= \frac{(a+b+c)^{2}}{3a+3b+3c-3abc}$

Cần chứng minh$8(a+b+c)^{2}+9\sqrt{3}abc\geq 9\sqrt{3}(a+b+c)$ với ab+bc+ca=1 là xong ,không biết có đúng ko

[nguyen kd]

Chứng minh BĐTb trên nhờ phương pháp dồn biến tạm (Phép chứng minh không được đẹp mắt).

Bạn nhầm chỗ $f(x,t,t) \ge 24$ do quy đồng

Phép biến đổi đúng là

$f(x,t,t) = 7(x + 2t) + 3x{t^2} \ge 24 \Leftrightarrow {t^4} - 10{t^2} + 16t - 7 \le 0$

Edited by nguyen kd, 08-10-2017 - 19:04.

[hanguyen445]

Bạn nhầm chỗ $f(x,t,t) \ge 24$ do quy đồng

Phép biến đổi đúng là

$f(x,t,t) = 7(x + 2t) + 3x{t^2} \ge 24 \Leftrightarrow {t^4} - 10{t^2} + 16t - 7 \le 0$

$t^4-10t^2+16t-7\le 0\iff (t-1)^2(t^2+2t-7)\le 0(*)$

Do $2xt+t^2=3\implies t^2<3\implies t^2+2t-7\le 3+2\sqrt{3}-7<0$ nên (*) đúng.

Thật may mắn vẫn còn đúng. Cảm ơn bạn \texbf{Nguyen Kid}.

Edited by hanguyen445, 08-10-2017 - 20:25.