Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 08-10-2017 - 14:48
Đề thi chọn đội tuyển trường Phan Bội Châu - Nghệ An 2017-2018
#1
Đã gửi 08-10-2017 - 10:34
- tay du ki, Tea Coffee và slenderman123 thích
The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.
----- Michelangelo----
#2
Đã gửi 08-10-2017 - 15:19
Bài 4: Gọi $a_{i}$ là số ô vuông được tô đỏ trên hàng thứ $i$. Khi đó $S=\sum_{i=1}^{13}{a_i}$.
Số cặp ô vuông tô đỏ trên cùng 1 hàng là $\binom{a_i}{2} \Rightarrow$ số cặp ô vuông tô đỏ trên bảng là $\sum_{i=1}^{13}{\binom{a_i}{2}}$
Ta có kí hiệu tọa độ của mỗi ô vuông là $(a_i,b_i)$ với $a_i$ là số thứ tự hàng và $b_i$ là số thứ tự cột.
Khi đó tọa độ của mỗi cặp ô vuông là $(a_i,b_i,a_j,b_j)$. Ta thực hiện động tác chuyển tất cả các cặp ô vuông được tô đỏ vào hàng thứ 1 bằng cách cho chiếu thẳng đứng từng cặp ô vuông tương ứng với 1 cặp ô vuông ở hàng 1, khi đó $b_i,b_j$ không có ý nghĩa nữa ( cùng bằng 1 ) $\Rightarrow$ tọa độ của 1 cặp ô vuông tô đỏ được xác định $(a_i,a_j)$
Lúc này ta không có cặp ô vuông nào được tô đỏ cùng tọa độ. Thật vậy giả sử có 2 cặp ô vuông tô đỏ có tọa độ bằng nhau $(a_i,a_j) = (a'_i ,a'_j )$ suy ra 2 cặp ô vuông này thằng đứng với nhau ( Vô lí vì khi trước lúc chuyển 2 cặp ô vuông này đã tạo thành 1 hình chữ nhật có 4 góc tô đỏ ).
Vậy các cặp ô vuông tô đỏ phân biệt với nhau, cùng nằm trên 1 hàng $\Rightarrow$ tất cả các cặp ô vuông tô đỏ sẽ là các cặp ô vuông khác nhau cùng nằm trên 1 hàng
Vì thế tổng số cặp ô vuông được tô đỏ nhỏ hơn hoặc bằng tổng số cặp ô vuông cùng 1 hàng hay $\sum_{i=1}^{13}{\binom{a_i}{2}} \leq \binom{13}{2}$
$\Rightarrow \sum_{i=1}^{13}{\frac{a_i(a_i -1)}{2}} \leq \binom{13}{2}$
$\Rightarrow \sum_{i=1}^{13}{a^{2}_{i}} - S \leq 2. \binom{13}{2}$
$\Rightarrow \frac{1}{13}. \sum_{i=1}^{13}{a^{2}_{i}}.13 - S \leq 2. \binom{13}{2}$
Áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ thì $\sum_{i=1}^{13}{a^{2}_{i}}.13 \geq (\sum_{i=1}^{13}{a_i})^{2} = S^{2}$
Suy ra $\frac{S^{2}}{13}-S \leq 156 \Rightarrow S \leq 52$ vậy có thể tô đỏ tối đa $52$ ô vuông thỏa mãn bài toán.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 08-10-2017 - 15:34
- Tea Coffee, duylax2412, slenderman123 và 1 người khác yêu thích
The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.
----- Michelangelo----
#3
Đã gửi 14-10-2017 - 00:39
Bài 2. Đầu tiên ta có $a_n>2\;\;\forall n\in\mathbb{N}^*$ nên $|a_{n+1}-3|=\dfrac{1}{a_n}.|a_{n}-3|<\dfrac{1}{2}.|a_{n}-3|$
Do đó theo định lý Stolz, ta có $3=\lim a_{n}=\lim \dfrac{a_1+a_2+...+a_{n}}{n} \geqslant a$
Ta sẽ chứng minh $a=3$ thỏa mãn.
Nhận xét là $a_{n}>3$ nếu $n$ lẻ và $a_n<3$ nếu $n$ chẵn.
Với $n=1$ thì $a_1+a_2+...+a_n>3n$. Giả sử $a_1+a_2+...+a_n>3n$ với $n\geqslant 1$
Khi đó, $n$ chẵn thì $a_1+a_2+...+a_{n+1}>3n+a_{n+1}>3(n+1)$
$n$ lẻ thì $a_1+a_2+...+a_{n+1}>3(n-1)+a_{n}+a_{n+1}=3(n-1)+a_n+\dfrac{3}{a_n}+2=3(n+1)+\dfrac{(a_n-3)(a_n-1)}{a_n}>3(n+1)$
Do dó theo quy nạp ta có $a_1+a_2+...+a_n>3n$ với mọi $n$.
Do vậy mà $VT\geqslant \sqrt{n^2x^2+(a_1+a_2+...+a_n)^2}>n\sqrt{x^2+9}$
Bài 5. Thay $y=0\Rightarrow f(x+f(0))=f(x)$, do $f$ đơn điệu và $f\equiv c$ không thỏa nên $f(0)=0$
Thay $x=0\Rightarrow f(f(y))=y^n$
TH1: $n$ chẵn
- Nếu $f$ đồng biến thì xét $0>x>y$.
Khi đó $f(x)\geqslant f(y)$ nên $f(f(x))\geqslant f(f(y))$ hay $x^n\geqslant y^n$ nên $x\leqslant y$ vô lý.
- Nếu $f$ nghịch biến thì xét $0>x>y$.
Lúc này $f(x)\leqslant f(y)$ nên $f(f(x))\geqslant f(f(y))$ hay $x^n\geqslant y^n$ nên $x\leqslant y$ vô lý.
TH2: $n$ lẻ
Thay $x=f(1), y=1$ ta được $2^n=2$ nên $n=1$. Thay $y=f(y)$ ta được $f(x)+f(y)=f(x+y)$
Áp dụng chứng minh phương trình hàm Cauchy cho hàm đơn điệu ta suy ra $f(x)=x$ hoặc $f(x)=-x$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 14-10-2017 - 01:03
- Tea Coffee yêu thích
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
#4
Đã gửi 01-12-2017 - 12:13
Lời giải bài hình vòng 1.
File gửi kèm
#5
Đã gửi 01-12-2017 - 12:17
Lời giải bài hình vòng 1.
File gửi kèm
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh