Chủ đề này có 2 trả lời

[manhtadt 01]

Cho PT $ax^{2}+bx+c=0(a\neq 0)$ có 2 nghiệm thuộc đoạn [0;2].

Tìm GTLN của biểu thức $P=\frac{8a^{2}-6ab+b^{2}}{4a^{2}-2ab+ac}$

[DOTOANNANG]

Gọi $x_{1}$, $x_{2}$ là hai nghiệm của P. Theo định lí Viète ta có:

$x_{1}+ x_{2}= \frac{-b}{a}, x_{1}x_{2}= \frac{c}{a}.$

Khi đó ta có:

$P= \frac{8a^{2}- 6ab+ b^{2}}{4a^{2}- 2ab+ ac}=\frac{8- 6.\frac{b}{a}+ \left ( \frac{b}{a} \right )^{2}}{4- 2.\frac{b}{a}+ \frac{c}{a}} \left ( a\neq 0 \right ) = \frac{8+ 6\left (x_{1}+ x_{2} \right )+ \left ( x_{1}+ x_{2} \right )^{2}}{4+ 2\left ( x_{1}+ x_{2} \right )^{2}+ x_{1}+ x_{2}}.$

Giả sử $0\leq x_{1}\leq x_{2}\leq 2$. Ta có: $x_{1}^{2}\leq x_{1}x_{2}$ và $x_{2}^{2}\leq 4$

$\Rightarrow x_{1}^{2}+ x_{2}^{2}\leq x_{1}x_{2}+ 4 \Rightarrow \left ( x_{1}+ x_{2} \right )^{2}\leq 3x_{1}x_{2}+ 4 \Rightarrow P\leq \frac{8+ 6\left ( x_{1}+ x_{2} \right )+ 3x_{1}x_{2}+ 4}{4+ 2\left ( x_{1}+ x_{2} \right )+ x_{1}x_{2}}= 3$

Đẳng thức xảy ra khi $x_{1}= x_{2}= 2 \vee x_{1}= 0, x_{2}= 2 \Rightarrow c= -b= 4a \vee b= -2a, c= 0$

[DOTOANNANG]

Ngoài ra còn cách viết chỉ ra được min P= 2 khi và chỉ khi b= c= 0 với

$P= 2+ \frac{x_{1}^{2}+ x_{2}^{2}}{4+ 2\left ( x_{1}+ x_{2} \right )+ x_{1}+ x_{2}}$