cho a, b, c > 0 và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant 1$
Chứng minh rằng $\frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}+\frac{b+c}{\sqrt{bc+a}}+\frac{c+a}{\sqrt{ca+b}}\geq 3\sqrt[6]{abc}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lamdaika: 16-10-2017 - 21:05
$\frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}+\frac{b+c}{\sqrt{bc+a}}+\frac{c+a}{\sqrt{ca+b}}\geq 3\sqrt[6]{abc}$
Bắt đầu bởi lamdaika, 16-10-2017 - 21:04
#2
Đã gửi 19-10-2017 - 20:23
viet9a14124869
-
- Thành viên
-
- 903 Bài viết
Trung úy
cho a, b, c > 0 và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant 1$
Chứng minh rằng $\frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}+\frac{b+c}{\sqrt{bc+a}}+\frac{c+a}{\sqrt{ca+b}}\geq 3\sqrt[6]{abc}$
Từ điều kiện bài toán ta có : $abc\leq ab+bc+ca$
Ta có $\frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}\geq \frac{(a+b)\sqrt{c}}{\sqrt{(a+c)(b+c)}}$
Làm tương tự ta được :
$LHS \geq \frac{(a+b)\sqrt{c}}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}+\frac{(b+c)\sqrt{a}}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{(c+a)\sqrt{b}}{\sqrt{(b+c)(b+a)}}\geq 3\sqrt[6]{abc}$ ( AM-GM )
P/S: Bài này dễ mà :v ( Đã fix )
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet9a14124869: 19-10-2017 - 21:30
SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ
GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?
ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA
KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .
#3
Đã gửi 19-10-2017 - 21:21
tienduc
-
- Điều hành viên THCS
-
- 580 Bài viết
Thiếu úy
Từ điều kiện bài toán ta có : $abc\leq ab+bc+ca$
Ta có $\frac{(a+b)}{\sqrt{ab+c}}=\frac{(a+b)\sqrt{c}}{abc+c^2}$$\geq \frac{(a+b)\sqrt{c}}{\sqrt{(a+c)(b+c)}}$
Làm tương tự ta được :
$LHS \geq \frac{(a+b)\sqrt{c}}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}+\frac{(b+c)\sqrt{a}}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{(c+a)\sqrt{b}}{\sqrt{(b+c)(b+a)}}\geq 3\sqrt[6]{abc}$ ( AM-GM )
P/S: Bài này dễ mà :v
Đoạn này có vấn đề phải là $\frac{(a+b)\sqrt{c}}{\sqrt{abc+c^2}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 19-10-2017 - 21:23
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
