Jump to content

Photo

Tính tỷ số thể tích của hai khối đa diện bị chia bởi một mặt phẳng qua trung điểm ba cạnh của một lăng trụ tam giác .

- - - - -

  • Please log in to reply
1 reply to this topic

#1
hoaadc08

hoaadc08

    Trung úy

  • Thành viên
  • 777 posts
Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh A'B' , BC , CC' . Mặt phẳng (MNP) chia khối lăng trụ thành hai phần , phần chứa điểm B có thể tích là V' , phần còn lại là V" . Tính tỷ số V'/V"" .

#2
vkhoa

vkhoa

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 933 posts

Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh A'B' , BC , CC' . Mặt phẳng (MNP) chia khối lăng trụ thành hai phần , phần chứa điểm B có thể tích là V' , phần còn lại là V" . Tính tỷ số V'/V"" .

Bổ đề, cho tam giác ABC, B', C' lần lượt là các điểm nằm trên đường thẳng AB, AC, ta có $\frac{S_{AB'C'}}{S_{ABC}} =\frac{AB'}{AB} .\frac{AC'}{AC}$
Cm:
NP cắt B'C', B'B lần lượt tại D, F
MD cắt A'C' tại E, MF cắt AB tại G
ta có MGNPE là thiết diện của (MNP) và hình lăng trụ
có $DC' =NC =\frac12B'C'\Rightarrow\frac{DC'}{DB'} =\frac13$
áp dụng Menelaus cho 3 điểm thẳng hàng D, E, M và tam giác A'B'C', ta có
$\frac{EC'}{EA'} .\frac{MA'}{MB'} .\frac{DB'}{DC'} =1$
$\Rightarrow\frac{EC'}{EA'} =\frac13$
áp dụng Menelaus cho 3 điểm thẳng hàng A', E, C' và tam giác DMB'
$\frac{EM}{ED} .\frac{C'D}{C'B'} .\frac{A'B'}{A'M} =1$
$\Rightarrow EM =ED$
$\frac{BG}{BA} =\frac{BG}{B'M} .\frac{B'M}{BA} =\frac16$
ký hiệu $d_{A, (BCD)} $ là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD), gọi h là đường cao của hình lăng trụ, S là diện tích tg ABC
$\frac{d_{F,(ABC)}}{d_{F,(A'B'C')}} =\frac {FB}{FB'} =\frac13$
$\Leftrightarrow\frac{d_{F,(ABC)}}{d_{F,(A'B'C')} -d_{F,(ABC)}} =\frac{d_{F,(ABC)}}h =\frac1{3 -1} =\frac12$
$S_{BGN} =\frac{BG}{BA} .\frac{BN}{BC} .S =\frac1{12} .S$
$\Rightarrow V_{F.BGN} =\frac13 .\frac12h .\frac1{12} .S =\frac1{72} .h .S$
có hình chóp F.BGN đồng dạng hình chóp F.B'MD theo tỉ lệ $\frac13$
$\Rightarrow V_{F.B'MD} =3^3 .V_{F.BGN} =\frac38.h .S$
$S_{EC'D} =\frac{EC'}{EA'} .\frac{ED}{EM} .S_{A'ME} =\frac13 .S_{A'ME} =\frac13 .\frac{A'M}{A'B} .\frac{A'E}{A'C'} .S =\frac18 .S$
$V_{P.EC'D} =\frac13 .d_{P,(A'B'C')} .S_{EC'D} =\frac13 .\frac12 .h .\frac18 .S =\frac1{48} .h .S$
$V' =V_{F.B'MD} -V_{F.BGN} -V_{P.C'ED} =\frac{49}{144} .h .S =\frac{49}{144} .V_{ABC.A'B'C'}$
$V'' =V_{ABC.A'B'C'} -V' =\frac{95}{144} .h .S$
$\Rightarrow\frac{V'}{V''} =\frac{49}{95}$ (đpcm)

Attached Images

  • Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh A'B' , BC , CC' . Mặt phẳng (MNP) chia khối lăng trụ thành hai phần , phần chứa điểm B có thể tích





1 user(s) are reading this topic

0 members, 1 guests, 0 anonymous users