Chủ đề này có 1 trả lời

[hoaadc08]

Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh A'B' , BC , CC' . Mặt phẳng (MNP) chia khối lăng trụ thành hai phần , phần chứa điểm B có thể tích là V' , phần còn lại là V" . Tính tỷ số V'/V"" .

[vkhoa]

Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh A'B' , BC , CC' . Mặt phẳng (MNP) chia khối lăng trụ thành hai phần , phần chứa điểm B có thể tích là V' , phần còn lại là V" . Tính tỷ số V'/V"" .

Bổ đề, cho tam giác ABC, B', C' lần lượt là các điểm nằm trên đường thẳng AB, AC, ta có $\frac{S_{AB'C'}}{S_{ABC}} =\frac{AB'}{AB} .\frac{AC'}{AC}$

Cm:

NP cắt B'C', B'B lần lượt tại D, F

MD cắt A'C' tại E, MF cắt AB tại G

ta có MGNPE là thiết diện của (MNP) và hình lăng trụ

có $DC' =NC =\frac12B'C'\Rightarrow\frac{DC'}{DB'} =\frac13$

áp dụng Menelaus cho 3 điểm thẳng hàng D, E, M và tam giác A'B'C', ta có

$\frac{EC'}{EA'} .\frac{MA'}{MB'} .\frac{DB'}{DC'} =1$

$\Rightarrow\frac{EC'}{EA'} =\frac13$

áp dụng Menelaus cho 3 điểm thẳng hàng A', E, C' và tam giác DMB'

$\frac{EM}{ED} .\frac{C'D}{C'B'} .\frac{A'B'}{A'M} =1$

$\Rightarrow EM =ED$

$\frac{BG}{BA} =\frac{BG}{B'M} .\frac{B'M}{BA} =\frac16$

ký hiệu $d_{A, (BCD)} $ là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD), gọi h là đường cao của hình lăng trụ, S là diện tích tg ABC

$\frac{d_{F,(ABC)}}{d_{F,(A'B'C')}} =\frac {FB}{FB'} =\frac13$

$\Leftrightarrow\frac{d_{F,(ABC)}}{d_{F,(A'B'C')} -d_{F,(ABC)}} =\frac{d_{F,(ABC)}}h =\frac1{3 -1} =\frac12$

$S_{BGN} =\frac{BG}{BA} .\frac{BN}{BC} .S =\frac1{12} .S$

$\Rightarrow V_{F.BGN} =\frac13 .\frac12h .\frac1{12} .S =\frac1{72} .h .S$

có hình chóp F.BGN đồng dạng hình chóp F.B'MD theo tỉ lệ $\frac13$

$\Rightarrow V_{F.B'MD} =3^3 .V_{F.BGN} =\frac38.h .S$

$S_{EC'D} =\frac{EC'}{EA'} .\frac{ED}{EM} .S_{A'ME} =\frac13 .S_{A'ME} =\frac13 .\frac{A'M}{A'B} .\frac{A'E}{A'C'} .S =\frac18 .S$

$V_{P.EC'D} =\frac13 .d_{P,(A'B'C')} .S_{EC'D} =\frac13 .\frac12 .h .\frac18 .S =\frac1{48} .h .S$

$V' =V_{F.B'MD} -V_{F.BGN} -V_{P.C'ED} =\frac{49}{144} .h .S =\frac{49}{144} .V_{ABC.A'B'C'}$

$V'' =V_{ABC.A'B'C'} -V' =\frac{95}{144} .h .S$

$\Rightarrow\frac{V'}{V''} =\frac{49}{95}$ (đpcm)

Hình gửi kèm

•