Chứng minh rằng $C_{22}^{3}+C_{22}^{7}+C_{22}^{11}+C_{22}^{15}+C_{22}^{19}=2^{20}+2^{10}$
Chứng minh rằng $C_{22}^{3}+C_{22}^{7}+C_{22}^{11}+C_{22}^{15}+C_{22}^{19}=2^{20}+2^{10}$
#1
Đã gửi 25-10-2017 - 19:06
"Đừng khóc, Alfred! Anh cần có đủ nghị lực để chết ở tuổi hai mươi"
#2
Đã gửi 29-10-2017 - 16:21
Chứng minh rằng $C_{22}^{3}+C_{22}^{7}+C_{22}^{11}+C_{22}^{15}+C_{22}^{19}=2^{20}+2^{10}$
Ta thấy có $4$ căn bậc $4$ của đơn vị là $\left\{\begin{matrix}\varepsilon_1=i\\\varepsilon_2=i^2=-1\\\varepsilon_3=i^3=-i\\\varepsilon_4=i^4=1\end{matrix}\right.$
Ta tính các khai triển sau
$\varepsilon_1.(1+\varepsilon_1)^{22}=C_{22}^{0}.\varepsilon_1^1+C_{22}^{1}.\varepsilon_1^2+C_{22}^{2}.\varepsilon_1^3+C_{22}^{3}.\varepsilon_1^4+...+C_{22}^{22}.\varepsilon_1^{23}$
$\varepsilon_2.(1+\varepsilon_2)^{22}=C_{22}^{0}.\varepsilon_2^1+C_{22}^{1}.\varepsilon_2^2+C_{22}^{2}.\varepsilon_2^3+C_{22}^{3}.\varepsilon_2^4+...+C_{22}^{22}.\varepsilon_2^{23}$
$\varepsilon_3.(1+\varepsilon_3)^{22}=C_{22}^{0}.\varepsilon_3^1+C_{22}^{1}.\varepsilon_3^2+C_{22}^{2}.\varepsilon_3^3+C_{22}^{3}.\varepsilon_3^4+...+C_{22}^{22}.\varepsilon_3^{23}$
$\varepsilon_4.(1+\varepsilon_4)^{22}=C_{22}^{0}.\varepsilon_4^1+C_{22}^{1}.\varepsilon_4^2+C_{22}^{2}.\varepsilon_4^3+C_{22}^{3}.\varepsilon_4^4+...+C_{22}^{22}.\varepsilon_3^{23}$
Do đó
$\sum_{i=1}^{4}\varepsilon_i.(1+\varepsilon_i)^{22}=C_{22}^{0}(\varepsilon_1^1+\varepsilon_2^1+\varepsilon_3^1+\varepsilon_4^1)+C_{22}^{1}(\varepsilon_1^2+\varepsilon_2^2+\varepsilon_3^2+\varepsilon_4^2)+C_{22}^{2}(\varepsilon_1^3+\varepsilon_2^3+\varepsilon_3^3+\varepsilon_4^3)+C_{22}^{3}(\varepsilon_1^4+\varepsilon_2^4+\varepsilon_3^4+\varepsilon_4^4)+...+C_{22}^{22}(\varepsilon_1^{23}+\varepsilon_2^{23}+\varepsilon_3^{23}+\varepsilon_4^{23})=4(C_{22}^{3}+C_{22}^{7}+C_{22}^{11}+C_{22}^{15}+C_{22}^{19})$
Mặt khác ta có
$\sum_{i=1}^{4}\varepsilon_i.(1+\varepsilon_i)^{22}=\varepsilon_1.(1+\varepsilon_1)^{22}+\varepsilon_2.(1+\varepsilon_2)^{22}+\varepsilon_3.(1+\varepsilon_3)^{22}+\varepsilon_4.(1+\varepsilon_4)^{22}=i.(-2^{11})i+(-1).0+(-i).2^{11}i+2^{22}=2^{22}+2^{12}$
Vậy ta có đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Element hero Neos: 29-10-2017 - 16:22
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh