8 replies to this topic

[toannguyenebolala]

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\geq \frac{3}{2}$

Edited by toannguyenebolala, 04-11-2017 - 20:11.

[AGFDFM]

Do a+b+c=3.Do đó Cosi ngược dấu rồi dùng cô si với mẫu số. Cô si thêm lần nữa là ra

Edited by AGFDFM, 04-11-2017 - 21:02.

[toannguyenebolala]

Dùng giả thiết a+b+c=3 sau đó Cosi ngược dấu rồi cùng cô si với mẫu số. Cô si thêm lần nữa là ra

 cụ thể đi bạn

[AGFDFM]

Lấy a-phân thức đầu.tương tự với 2 cái còn lại.
Dùng Cô si 2 số với mẫu số mỗi phân thức.
Và a√(bc)<=(ab+ac)/2
(ab+bc+ca)*3<=(a+b+c)^2

[sharker]

$\sum {\frac{a}{{bc + 1}} = \sum {a - \frac{{abc}}{{1 + bc}} \ge 3 - \sum {\frac{{a\sqrt {bc} }}{2} = 3 - \sum {\frac{{\sqrt a .\sqrt {abc} }}{2} \ge 3 - \sum {\frac{{\sqrt a \sqrt {\frac{{{{(a + b + c)}^3}}}{{27}}} }}{2} = 3 - \sum {\frac{{\sqrt a }}{2}} } } } } }$

 $\ge 3 - \frac{1}{2}\sqrt {(a + b + c).3}  = \frac{3}{2}$

[toannguyenebolala]

 

$\sum {\frac{a}{{bc + 1}} = \sum {a - \frac{{abc}}{{1 + bc}} \ge 3 - \sum {\frac{{a\sqrt {bc} }}{2} = 3 - \sum {\frac{{\sqrt a .\sqrt {abc} }}{2} \ge 3 - \sum {\frac{{\sqrt a \sqrt {\frac{{{{(a + b + c)}^3}}}{{27}}} }}{2} = 3 - \sum {\frac{{\sqrt a }}{2}} } } } } }$

 $\ge 3 - \frac{1}{2}\sqrt {(a + b + c).3}  = \frac{3}{2}$

 

bạn xem lại đề  

[sharker]

bạn xem lại đề

mih k hiểu

[toannguyenebolala]

mih k hiểu

tiêu đề mình gõ bị nhầm, nhưng đề đúng là $\frac{a}{ab+1}$ 

[TrucCumgarDaklak]

$\sum \frac{a}{ab+1}=\sum \left ( a-\frac{a^{2}b}{ab+1} \right )\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}b}{ab+1}\leq \frac{3}{2}$

Theo AM-GM, ta có: $\sum \frac{a^{2}b}{ab+1}\leq \sum \frac{a^{2}b}{2\sqrt{ab}}$

Cần chứng minh: $\sum \frac{a^{2}b}{2\sqrt{ab}}\leq \frac{3}{2}$

Thật vây: $\sum \frac{a^{2}b}{2\sqrt{ab}}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum a\sqrt{ab}\leq 3\Leftrightarrow 3\left ( \sum a\sqrt{ab} \right )\leq \left ( \sum a \right )^{2}$ $(*)$

Đặt $\sqrt{a}=x,\sqrt{b}=y,\sqrt{c}=z(x,y,z>0)$ thì bất đẳng thức $(*)$ trở thành bất đẳng thức sau $3\left ( \sum x^{3}y \right )\leq \left ( \sum x^{2} \right )^{2}$

Bất đẳng thức trên là bất đẳng thức Vasc quen thuộc, bạn có thể tham khảo cách chứng minh trên mạng rất nhiều

Vậy bdt được chứng minh, đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$