Bài 1: Giá trị riêng của $A$ là nghiệm của phương trình $\lambda^2+1=0$ nên các giá trị riieng của $A$ là các số phức $i, -i$ .
Bài 2: Ta có $detA$ là số chẵn mà xét dạng chéo hóa Jordan của $A$ detA bằng tích các giá trị riêng nên các giá trị riêng không thể lẻ.
Lập luận của bài 2 hoàn toàn sai. Việc định thức là số chẵn không liên quan gì đến việc không thể có giá trị riêng lẻ, vì nếu có một giá trị riêng khác là số chẵn thì định thức vẫn là số chẵn.
Bài $1$: Cho $A$ là ma trận vuông thực cấp n thỏa mãn điều kiện $A^2+I=0$. Chứng minh rằng các giá trị riêng của $A$ không phải là số thực
Bài $2$: Cho $A=[a_{ij}]$ là ma trận vuông cấp $n$ với $a_{ij}$ là các số nguyên chẵn. Chứng minh rằng $A$ không thể có giá trị riêng một số nguyên lẻ.
Bài $3$: Cho ma trận $A = \begin{bmatrix} -1 & -7 & 5\\ -2 & -8 & 6\\ -4 & -16 & 12 \end{bmatrix}$. Hãy tìm một ma trận $B$ trên trường số thực sao cho $B^2=A$.
Ở bài 2 ta giả sử đa thức đặc trưng của $A$ là $$P(X)=X^{n}+b_{1}X^{n-1}+\dots+b_{n}$$ Vì tất cả thành phần của $A$ là số chẵn nên tất cả các hệ số $b_{1},\dots, b_{n}$ là số chẵn. Nếu $A$ có một giá tri riêng $\lambda$ là lẻ thì $P(\lambda)=0$ nhưng $\lambda^{n}$ là lẻ còn $b_{1}\lambda^{n-1}+\dots+b_{n}$ là chẵn, nên $P(\lambda)$ không thể bằng $0$, vô lý.
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck