2 replies to this topic

[Mihawkdacula]

Tìm $p\in\mathbb{R}$ sao cho tích phân $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}{\dfrac{ln(x+1)}{{x^{p}}}}~\text{d}x$ hội tụ.

[anhquannbk]

Tìm $p\in\mathbb{R}$ sao cho tích phân $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}{\dfrac{ln(x+1)}{{x^{p}}}}~\text{d}x$ hội tụ.

Đây là tích phân suy rộng loại 1.

Ta có $ \displaystyle\int_{0}^{+\infty}{\dfrac{ln(x+1)}{{x^{p}}}} dx = lim_{t \to \infty} { \displaystyle\int_{0}^{t}{\dfrac{ln(x+1)}{{x^{p}}}} dx}$
Đặt $ u=ln(x+1) $, $ \dfrac{1}{x^p}dx=dv $.

Suy ra $ du=\dfrac{1}{x+1}dx , v=\dfrac{x^{1-p}}{1-p}$.

Do đó $ \displaystyle\int_{0}^{t}{\dfrac{ln(x+1)}{{x^{p}}}} dx = \left.ln(x+1).\dfrac{x^{1-p}}{1-p}\right|_{0}^ t - \displaystyle\int_{0}^{t}{\dfrac{dx}{(1-p)x^{p-1}.(x+1)}} dx = \dfrac{ln(t+1)}{(1-p).t^{p-1}} - \dfrac{1}{1-p}.\displaystyle\int_{0}^{t}{\dfrac{dx}{x^p+x}} dx $
Ta có định lý sau:

Cho $ f, g $ là hai hàm dương.

Nếu $ lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{g(x)}= L \in (0, \infty) $ thì $ \displaystyle\int_{0}^{+\infty}{f(x)} dx $ và $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}{g(x)} dx $ cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

Ta có $ lim_{x \to \infty} \dfrac{x^p}{x^p+x}=1$nên $ \displaystyle\int_{0}^{t}{\dfrac{dx}{x^p+x}} dx $ và $ \displaystyle\int_{0}^{t}{\dfrac{dx}{x^p}} dx $ cùng bản chất. Mà $ \displaystyle\int_{0}^{t}{\dfrac{dx}{x^p}} dx $ hội tụ khi $ p>1 $ nên $ \displaystyle\int_{0}^{t}{\dfrac{dx}{x^p+x}} dx $ cũng hội tụ khi $ p>1 $

Sử dụng quy tắc $ L'Hopital $ ta có $ lim_{t \to \infty} \dfrac{ln(t+1)}{(1-p). t^{p-1}}= lim_{t \to \infty} \dfrac{1}{(t+1).(1-p).(p-1). t^{p-1}}=0 $.

Vậy $ \displaystyle\int_{0}^{+\infty}{\dfrac{ln(x+1)}{{x^{p}}}}~\text{d}x $ hội tụ khi $ p>1 $.

Edited by anhquannbk, 02-12-2017 - 18:12.

[Mihawkdacula]

Xin lỗi nhưng bạn có hai lỗi sai cơ bản sau :

+Thứ nhất tích phân đã cho có tới 2 điểm bất thường là 0 và $+\infty$ nên ta phải tách tích phân trên thành hai tích phân suy rộng $\displaystyle\int_0^1{\frac{ln(x+1)}{x^{p}}}dx$ và $\displaystyle\int_1^{+\infty}{\frac{ln(x+1)}{x^{p}}}dx$.

+Thứ hai ngay dòng thứ 7 từ dưới đếm lên bạn đã nhân phân phối nhầm, đúng ra phải là $\frac{1}{1-p}\displaystyle\int_1^{+\infty}{\frac{1}{x^p+x^{p-1}}}dx$ dẫn đến giới hạn ở dòng thứ 3 từ dưới lên cũng sai theo. Nhưng dù sao vẫn cảm ơn bạn vì đã giúp mình tìm ra hướng giải quyết cho bài toán này, nhân tiện, mình tìm ra đáp số của bài toán là $p\in(1;2)$. Thân !