Chủ đề này có 1 trả lời

[minhhuy14022003]

Tìm tất cả các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn $3^{x}+4^{y}=7^{z}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhhuy14022003: 10-12-2017 - 23:28

[YoLo]

chia hết cho là chc

Có 4^y-(3^z-3^x)=7^z-3^z

=> 4^y-3^x(3^z-x-1) =7^z-3^z

có 4^y chc 4 ; 7^z-3^z chc 4

=> 3^z-x-1 chc 4 nếu z-x lẻ => 3^z-x+1 chc 4 => 2 chc 4 vô lý

=> z-x chẵn

nếu z,x chẵn => z=2a, x=2b (a,b là SND)

2^2y= 7^2a-3^2b

2^2y= (7^a-3^b)(7^a+3^b) 2 số trên cùng chắn

=> phân tích 2^2ythành tích 2 số chẵn = 2^m * 2ⁿ (m,n là SND và m>=n)

=> 7^a+3^b=2^m ; 7^a-3^b=2ⁿ => 2^m-2ⁿ=2*3^b => 2^m-1-2^n-1= 3^b => n-1=0 =>n=1 => 7^a-3^b=2 => 7^a-1-3^b=1 . VT chc 3, VP ko chc 3

nếu z,x lẻ => z=2a+1, x=2b+1

pt trở thành 3*3^2a+4^y=7*7^2b

<=> 3*(9^a-1)+ 4^y-4= 7*(49^b-1)

có 9^a-1 chc 8 ; 49^b-1 chc 8, => 4^y-4 chc 8 (1)

nếu y>=2 => 4^y chc 8 => (1) sai

=> y=1 => 3*(9^a-1)= 7*(49^b-1)  => a=b=0 => x=z=1