Câu 1: Sử dụng AM-GM, ta được $VT \geq \sum \frac{\sqrt{3xy}}{xy}=\sqrt{3}\sum \frac{1}{\sqrt{xy}} \geq \sqrt{3}.3\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{xy}}.\frac{1}{\sqrt{yz}}.\frac{1}{\sqrt{zx}}}=3\sqrt{3}$ vì $xyz=1$.
Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z=1$.
Câu 2: Từ giả thiết ta có $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$.
Ta sẽ chứng minh $\frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)} \geq \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$
BĐT trên tương đương với $2(a^4+b^4) \geq (a+b)(a^3+b^3)$, hay $a^4+b^4 \geq ab^3+a^3b$.
BĐT này đúng theo AM-GM: $a^4+b^4 \geq \frac{1}{2} (a^2+b^2)^2 \geq ab(a^2+b^2)=ab^3+a^3b$.
Tương tự, ta được $\sum \frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)} \geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$ (đpcm)
Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=3$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmtuan2001: 14-12-2017 - 13:59