6 replies to this topic

[Mihawkdacula]

1) Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số sau:

                    $\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{\cos{n}}{n}}.$

2) Dùng tiêu chuẩn Cauchy xét tính hội tụ của dãy số sau:

$S_n=\frac{\cos{1^n}}{2^1}+\frac{\cos{2^n}}{2^2}+...+\frac{\cos{n^n}}{2^n}.$

[An Infinitesimal]

1) Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số sau:

                    $\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{\cos{n}}{n}}.$

2) Dùng tiêu chuẩn Cauchy xét tính hội tụ của dãy số sau:

$S_n=\frac{\cos{1^n}}{2^1}+\frac{\cos{2^n}}{2^2}+...+\frac{\cos{n^n}}{2^n}.$

 

Có được dùng số phức cho bài 1 khong bạn?

 

Bài 2: Dùng đánh giá sau để chứng minh: với các số tự nhiên $m, n$ thỏa $m>n$, ta có 

\[\left|S_m-S_n\right| \le \sum_{k=n+1}^m\left| \frac{\cos{k^n}}{2^k}\right| \le \sum_{k=n+1}^m\frac{1}{2^k}<\frac{1}{2^{k-1}}.\]

Từ đó, suy ra $\{S_n\}$ là dãy Cauchy (trong $\mathbb{R}$). Do đó, dãy này hội tụ.

Edited by An Infinitesimal, 21-12-2017 - 11:11.

[Mihawkdacula]

Bài 1 không đc dùng số phức nha bạn!

[Mihawkdacula]

À mà bài 2 của bạn mình nghĩ có gì đó không đúng vì 

$|S_m-S_n|=\left | \frac{\cos{1^m}-\cos{1^n}}{2^1}+\frac{\cos{2^m}-\cos{2^n}}{2^2}+...+\frac{\cos{n^m}-\cos{n^n}}{2^n}+\frac{\cos{(n+1)^m}}{2^{n+1}}+\frac{\cos{(n+2)^m}}{2^{n+2}}+...+\frac{\cos{m^m}}{2^m} \right |$

Nên đánh giá của bạn cần xem lại. Thân !

[An Infinitesimal]

À mà bài 2 của bạn mình nghĩ có gì đó không đúng vì 

$|S_m-S_n|=\left | \frac{\cos{1^m}-\cos{1^n}}{2^1}+\frac{\cos{2^m}-\cos{2^n}}{2^2}+...+\frac{\cos{n^m}-\cos{n^n}}{2^n}+\frac{\cos{(n+1)^m}}{2^{n+1}}+\frac{\cos{(n+2)^m}}{2^{n+2}}+...+\frac{\cos{m^m}}{2^m} \right |$

Nên đánh giá của bạn cần xem lại. Thân !

 

Không được dùng tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối kết hợp tiêu chuẩn Cauchy à?

[Mihawkdacula]

Không được dùng tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối kết hợp tiêu chuẩn Cauchy à?

Kết hợp sao vậy bạn? Giải thích rõ hơn dùm mình nha! Cảm ơn!

[An Infinitesimal]

Kết hợp sao vậy bạn? Giải thích rõ hơn dùm mình nha! Cảm ơn!

 

1) Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số sau:

                    $\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{\cos{n}}{n}}.$

2) Dùng tiêu chuẩn Cauchy xét tính hội tụ của dãy số sau:

$S_n=\frac{\cos{1^n}}{2^1}+\frac{\cos{2^n}}{2^2}+...+\frac{\cos{n^n}}{2^n}.$

 

$T_n=\frac{|\cos{1^n}|}{2^1}+\frac{|\cos{2^n}|}{2^2}+...+\frac{|\cos{n^n}|}{2^n}$. Dãy $\left\{ T_n\right\}$ hội tụ vì dãy này tăng và bị chặn trên bởi 1. 
Tìm ra chặn trên của dãy nhờ đánh giá $\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^n}<1.$

Suy ra $\left\{ S_n\right\}$ hội tụ.