1 reply to this topic

[hanguyen445]

Cho tam giác $\triangle{ABC}$ nội tiếp $(O)$, đường cao $AH$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, $N$ là đối đối xứng với $M$ qua điểm $O$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $AN$ cắt đường thẳng qua $B$ vuông góc với $BC$ tại $D$. Gọi $E$ là giao điểm của $CD$ và $AH$. Chứng minh rằng $E$ là trung điểm của $AH$.

 

Attached Images

• 

[Minhcamgia]

Cho tam giác $\triangle{ABC}$ nội tiếp $(O)$, đường cao $AH$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, $N$ là đối đối xứng với $M$ qua điểm $O$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $AN$ cắt đường thẳng qua $B$ vuông góc với $BC$ tại $D$. Gọi $E$ là giao điểm của $CD$ và $AH$. Chứng minh rằng $E$ là trung điểm của $AH$.

Gọi $E$ là trung điểm của $AC$, $G$ là trực tâm tam giác $ABC$, $L$ là giao của $AC$ và $BD$. Xét $\Delta OME$ và $\Delta GAB$:

  - $\angle EOM = 180 - \angle ACB = \angle AGB$

  - $OM \parallel AG; ME \parallel AB \Rightarrow \angle OME = \angle BAG$

$\Rightarrow \Delta OME \sim \Delta GAB (g.g) \Rightarrow \frac{ME}{AB} = \frac{OM}{AG} = \frac{1}{2} \Rightarrow OM = \frac{1}{2} AG \Rightarrow MN = 2OM = AG$.

Ta có $AG = MN$ mà $MN \parallel AG \Rightarrow AGMN$ là hình bình hành $\Rightarrow AD \perp GM$. Có $AD \perp GM; AB \perp GC \Rightarrow \angle MGC = \angle DAB(1)$

$BD \perp CM;CG \perp BA \Rightarrow \angle MCG = \angle DBA(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $\Delta GMC \sim \Delta DAB (g.g) \Rightarrow \frac{BD}{MC} = \frac{AD}{GM} (3)$

Có $\angle ADL = 180 - \angle ADB = 180 - \angle GMC = \angle GMB$

$\angle ALD= 90 - \angle ACB = \angle GBM \Rightarrow \Delta GMB \sim \Delta ADL(g.g) \Rightarrow \frac{DL}{MB}  = \frac{DA}{GM}(4)$

Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra $\frac{DL}{MB} = \frac{BD}{MC}$ mà $MB = MC \Rightarrow DL = BD \Rightarrow CD$ chia đôi $AH$ (dpcm).

Attached Images

• 

Edited by Minhcamgia, 22-04-2018 - 12:15.