Chủ đề này có 2 trả lời

[Lucky Phat]

Cho tam giác ABC nhọn đường cao AH . M là trung điểm của BC . Đường tròn đường kính AM cắt AB , AC lần lượt ở E , F 

 

a) CMR : BE . BA + CF . CA = 1/2 BC^2 

 

b) T là hình chiếu của M lên đường thẳng qua A và song song với BC . CMR : TE . MF = TF . ME

 

c) Trên EF lấy K sao cho góc ETK bằng góc MTF . CMR K là trung điểm EF và KF là phân giác của góc TKM

 

d) Đường thẳng qua M vuông góc với AM cắt EF tại S . CMR : SA = SH

[tritanngo99]

Cho tam giác ABC nhọn đường cao AH . M là trung điểm của BC . Đường tròn đường kính AM cắt AB , AC lần lượt ở E , F 

 

a) CMR : BE . BA + CF . CA = 1/2 BC^2 

 

b) T là hình chiếu của M lên đường thẳng qua A và song song với BC . CMR : TE . MF = TF . ME

 

c) Trên EF lấy K sao cho góc ETK bằng góc MTF . CMR K là trung điểm EF và KF là phân giác của góc TKM

 

d) Đường thẳng qua M vuông góc với AM cắt EF tại S . CMR : SA = SH

Dễ dàng ta chứng minh được: $ATMH$ là hình chữ nhật.

a) Ta có: $BE.BA=BH.BM;CF.CA=CM.CH\implies BE.BA+CF.CA=BM.(BH+HC)=\frac{BC^2}{2}$.

b) Áp dụng định lý hàm sin trong tam giác ta có: $\frac{TE}{TF}=\frac{sin(\angle{TFE})}{sin(\angle{TEF})}$.

$=\frac{sin(\angle{TAE})}{sin(\angle{TAF})}=\frac{sin(B)}{sin(C)}=\frac{ME}{MB}:\frac{MF}{MC}=\frac{ME}{MF}$.

$\implies TE.MF=TF.ME(1)$.

c) Ta có: $\angle{TEK}=\angle{TMF};\angle{ETK}=\angle{MTF}(*)\implies \triangle{ETK}\sim \triangle{MTF}$.

$\implies \frac{EK}{TK}=\frac{MF}{TF}(2)$.

Chứng minh tương tự ta có: $\triangle{ETM}\sim \triangle{KTF}\implies \frac{KF}{TK}=\frac{ME}{TE}(3)$.

Từ $(1)(2)(3)\implies \frac{EK}{TK}=\frac{KF}{TK}\implies EK=KF\implies K$ là trung điểm $EF$.

Gọi $L$ là trung điểm $AC$. Khi đó ta có: $OL\parallel BC;ML\parallel AB$.

Suy ra: $\angle{LMA}=\angle{MAE}=\angle{MFE}$. Kết hợp với: $\angle{MEF}=\angle{MAL}$.

$\implies \triangle{LAM}\sim \triangle{MEF}$. Mặt khác ta có: $K,L$ lần lượt là trung điểm của $EF,AM$

$\implies \triangle{LOM}\sim \triangle{MKF}$

$\implies \angle{MKF}=\angle{LOM}=\angle{AMH}=\frac{\stackrel\frown{AH}}{2}(4)$

Lại có: $(*)\implies \angle{TKF}=\angle{TEM}=\frac{\stackrel\frown{TM}}{2}(5)$.

Do $\stackrel\frown{AH}=\stackrel\frown{TM}\implies \angle{TKF}=\angle{MKF}$

$\implies KF\text{ la phan giac } \angle{TKM}$

d)   Xét tứ giác $KMST$ ta có: $\angle{TMS}=\angle{TKS}=\frac{\stackrel\frown{TM}}{2}$

$\implies KMTS\text{ nội tiếp }\implies \angle{TKM}+\angle{TSM}=180^0(7)$.

 Mặt khác, ta lại có: $\angle{TOM}=\angle{TKM}=2*\angle{TKF}=\stackrel\frown{TM}$

Do đó từ $(7)\implies \angle{TOM}+\angle{TSM}=180^0\implies TOMS\text{ nội tiếp}$

$\implies \angle{OTS}=90^0\implies ST$ cũng là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

Đến đây dễ dàng chứng minh được: $\triangle{STA}=\triangle{SMH}\implies SA=SH.(dpcm)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 11-01-2018 - 16:28

[Lucky Phat]

jj.JPG

Dễ dàng ta chứng minh được: $ATMH$ là hình chữ nhật.

a) Ta có: $BE.BA=BH.BM;CF.CA=CM.CH\implies BE.BA+CF.CA=BM.(BH+HC)=\frac{BC^2}{2}$.

b) Áp dụng định lý hàm sin trong tam giác ta có: $\frac{TE}{TF}=\frac{sin(\angle{TFE})}{sin(\angle{TEF})}$.

$=\frac{sin(\angle{TAE})}{sin(\angle{TAF})}=\frac{sin(B)}{sin(C)}=\frac{ME}{MB}:\frac{MF}{MC}=\frac{ME}{MF}$.

$\implies TE.MF=TF.ME(1)$.

c) Ta có: $\angle{TEK}=\angle{TMF};\angle{ETK}=\angle{MTF}(*)\implies \triangle{ETK}\sim \triangle{MTF}$.

$\implies \frac{EK}{TK}=\frac{MF}{TF}(2)$.

Chứng minh tương tự ta có: $\triangle{ETM}\sim \triangle{KTF}\implies \frac{KF}{TK}=\frac{ME}{TE}(3)$.

Từ $(1)(2)(3)\implies \frac{EK}{TK}=\frac{KF}{TK}\implies EK=KF\implies K$ là trung điểm $EF$.

Gọi $L$ là trung điểm $AC$. Khi đó ta có: $OL\parallel BC;ML\parallel AB$.

Suy ra: $\angle{LMA}=\angle{MAE}=\angle{MFE}$. Kết hợp với: $\angle{MEF}=\angle{MAL}$.

$\implies \triangle{LAM}\sim \triangle{MEF}$. Mặt khác ta có: $K,L$ lần lượt là trung điểm của $EF,AM$

$\implies \triangle{LOM}\sim \triangle{MKF}$

$\implies \angle{MKF}=\angle{LOM}=\angle{AMH}=\frac{\stackrel\frown{AH}}{2}(4)$

Lại có: $(*)\implies \angle{TKF}=\angle{TEM}=\frac{\stackrel\frown{TM}}{2}(5)$.

Do $\stackrel\frown{AH}=\stackrel\frown{TM}\implies \angle{TKF}=\angle{MKF}$

$\implies KF\text{ la phan giac } \angle{TKM}$

d)   Xét tứ giác $KMST$ ta có: $\angle{TMS}=\angle{TKS}=\frac{\stackrel\frown{TM}}{2}$

$\implies KMTS\text{ nội tiếp }\implies \angle{TKM}+\angle{TSM}=180^0(7)$.

 Mặt khác, ta lại có: $\angle{TOM}=\angle{TKM}=2*\angle{TKF}=\stackrel\frown{TM}$

Do đó từ $(7)\implies \angle{TOM}+\angle{TSM}=180^0\implies TOMS\text{ nội tiếp}$

$\implies \angle{OTS}=90^0\implies ST$ cũng là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

Đến đây dễ dàng chứng minh được: $\triangle{STA}=\triangle{SMH}\implies SA=SH.(dpcm)$

 

anh làm cách lớp 9 được ko ạ