Cho tam giác ABC nhọn đường cao AH . M là trung điểm của BC . Đường tròn đường kính AM cắt AB , AC lần lượt ở E , F
a) CMR : BE . BA + CF . CA = 1/2 BC^2
b) T là hình chiếu của M lên đường thẳng qua A và song song với BC . CMR : TE . MF = TF . ME
c) Trên EF lấy K sao cho góc ETK bằng góc MTF . CMR K là trung điểm EF và KF là phân giác của góc TKM
d) Đường thẳng qua M vuông góc với AM cắt EF tại S . CMR : SA = SH
Dễ dàng ta chứng minh được: $ATMH$ là hình chữ nhật.
a) Ta có: $BE.BA=BH.BM;CF.CA=CM.CH\implies BE.BA+CF.CA=BM.(BH+HC)=\frac{BC^2}{2}$.
b) Áp dụng định lý hàm sin trong tam giác ta có: $\frac{TE}{TF}=\frac{sin(\angle{TFE})}{sin(\angle{TEF})}$.
$=\frac{sin(\angle{TAE})}{sin(\angle{TAF})}=\frac{sin(B)}{sin(C)}=\frac{ME}{MB}:\frac{MF}{MC}=\frac{ME}{MF}$.
$\implies TE.MF=TF.ME(1)$.
c) Ta có: $\angle{TEK}=\angle{TMF};\angle{ETK}=\angle{MTF}(*)\implies \triangle{ETK}\sim \triangle{MTF}$.
$\implies \frac{EK}{TK}=\frac{MF}{TF}(2)$.
Chứng minh tương tự ta có: $\triangle{ETM}\sim \triangle{KTF}\implies \frac{KF}{TK}=\frac{ME}{TE}(3)$.
Từ $(1)(2)(3)\implies \frac{EK}{TK}=\frac{KF}{TK}\implies EK=KF\implies K$ là trung điểm $EF$.
Gọi $L$ là trung điểm $AC$. Khi đó ta có: $OL\parallel BC;ML\parallel AB$.
Suy ra: $\angle{LMA}=\angle{MAE}=\angle{MFE}$. Kết hợp với: $\angle{MEF}=\angle{MAL}$.
$\implies \triangle{LAM}\sim \triangle{MEF}$. Mặt khác ta có: $K,L$ lần lượt là trung điểm của $EF,AM$
$\implies \triangle{LOM}\sim \triangle{MKF}$
$\implies \angle{MKF}=\angle{LOM}=\angle{AMH}=\frac{\stackrel\frown{AH}}{2}(4)$
Lại có: $(*)\implies \angle{TKF}=\angle{TEM}=\frac{\stackrel\frown{TM}}{2}(5)$.
Do $\stackrel\frown{AH}=\stackrel\frown{TM}\implies \angle{TKF}=\angle{MKF}$
$\implies KF\text{ la phan giac } \angle{TKM}$
d) Xét tứ giác $KMST$ ta có: $\angle{TMS}=\angle{TKS}=\frac{\stackrel\frown{TM}}{2}$
$\implies KMTS\text{ nội tiếp }\implies \angle{TKM}+\angle{TSM}=180^0(7)$.
Mặt khác, ta lại có: $\angle{TOM}=\angle{TKM}=2*\angle{TKF}=\stackrel\frown{TM}$
Do đó từ $(7)\implies \angle{TOM}+\angle{TSM}=180^0\implies TOMS\text{ nội tiếp}$
$\implies \angle{OTS}=90^0\implies ST$ cũng là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.
Đến đây dễ dàng chứng minh được: $\triangle{STA}=\triangle{SMH}\implies SA=SH.(dpcm)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 11-01-2018 - 16:28