Chủ đề này có 1 trả lời

[thutrang2k4dc]

     Cho các số a,b,c nguyên dương đôi một khác nhau và thoả mãn :

                 $\frac{2a+b}{a+b}+\frac{2b+c}{b+c}+\frac{2c+d}{c+d}+\frac{2d+a}{d+a}=6$

    Chứng minh A= abcd là số chính phương

[thutrang2k4dc]

     Cho các số a,b,c nguyên dương đôi một khác nhau và thoả mãn :

                 $\frac{2a+b}{a+b}+\frac{2b+c}{b+c}+\frac{2c+d}{c+d}+\frac{2d+a}{d+a}=6$

    Chứng minh A= abcd là số chính phương

      Ta có :

              $\frac{2a+b}{a+b}+\frac{2b+c}{b+c}+\frac{2c+d}{c+d}+\frac{2d+a}{d+a}=6$

              $\Leftrightarrow 1+\frac{a}{a+b}+1+\frac{b}{b+c}+1+\frac{c}{c+d}+1+\frac{d}{d+a}=6$

              $\Leftrightarrow \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}=2$

              $\Leftrightarrow 1-\frac{a}{a+b}-\frac{b}{b+c}+1-\frac{c}{c+d}-\frac{d}{d+a}=0$

              $\Leftrightarrow \frac{b}{a+b}-\frac{b}{b+c}+\frac{d}{c+d}-\frac{d}{d+a}=0$

              $\Leftrightarrow \frac{b(c-a)}{(a+b)(b+c)}+\frac{d(a-c)}{(c+d)(d+a)}=0$

             $\Leftrightarrow b(c+d)(d+a)-d(a+b)(b+c)=0$

             $\Leftrightarrow abc-acd+bd^{2}-b^{2}d=0$

             $\Leftrightarrow (b-d)(ac-bd)=0$

             $\Leftrightarrow ac-bd=0$ ( Vì nếu b-d=0 thì b=d trái với điều kiện đề bài )

            $\Leftrightarrow ab=cd$

     Do đó : $A=abcd=(ac)^{2}$

         Vậy A = abcd là số chính phương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thutrang2k4dc: 15-01-2018 - 20:47