Chủ đề này có 1 trả lời

[ThuThao36]

Cho các số thực a, b (a>b) và hai dãy số $\begin{Bmatrix} u_{n} \end{Bmatrix}$ và $\begin{Bmatrix} v_{n} \end{Bmatrix}$ xác định như sau:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}=a; v_{1}=b\\ u_{n+1}=\frac{u_{n}+v_{n}}{2}; v_{n+1}=\sqrt{u_{n}v_{n}} \end{matrix}\right.$ với mọi $n\epsilon N^{*}$

Chứng minh rằng hai dãy trên co giới hạn hữu hạn và $Limu_{n}=Limv_{n}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ThuThao36: 16-02-2018 - 20:39

[An Infinitesimal]

Cho các số thực a, b (a>b) và hai dãy số $\begin{Bmatrix} u_{n} \end{Bmatrix}$ và $\begin{Bmatrix} v_{n} \end{Bmatrix}$ xác định như sau:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}=a; v_{1}=b\\ u_{n+1}=\frac{u_{n}+v_{n}}{2}; v_{n+1}=\sqrt{u_{n}v_{n}} \end{matrix}\right.$ với mọi $n\in N^{*}$

Chứng minh rằng hai dãy trên co giới hạn hữu hạn và $\limu_{n}=\lim v_{n}$

 

Một số nhận xét  dẫn đến lời giải cho bài toán:

 

1) Dùng qui nạp và bất đẳng thức Cauchy, ta nhận được $u_n\ge v_n \forall n\in \mathbb{N},$

 

 

2) Từ 1), ta thu được $ \left\{u_n\right\} $ là dãy giảm bị chặn dưới bởi $v_1=b$ và $\left\{v_n\right\}$ là dãy tăng bị chặn trên bởi $u_1=a.$

 

3) Từ 2), ta thu được cả hai dãy hội tụ. Từ hệ thức truy hồi $u_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2}$, ta suy ra hai dãy hội tụ về cùng giới hạn.