Chủ đề này có 1 trả lời

[minhbeo12]

Cho 2 đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại hai điểm A, B. Tiếp tuyến tại A, B của (O1) cắt nhau ở D. Xét điểm C trên đường tròn (O1). Các đường thẳng AC, BC cắt lại (O2) tại E, F theo thứ tự đó. Chứng minh CD luôn đi qua trung điểm EF

[vkhoa]

Cho 2 đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại hai điểm A, B. Tiếp tuyến tại A, B của (O1) cắt nhau ở D. Xét điểm C trên đường tròn (O1). Các đường thẳng AC, BC cắt lại (O2) tại E, F theo thứ tự đó. Chứng minh CD luôn đi qua trung điểm EF

$CD$ cắt $(O_1)$ tại $I$, cắt $EF$ tại $G$

$O_1D$ cắt $AB$ tại $H$

$\triangle DIA\sim\triangle DAC$(g, g)

$\Rightarrow\frac{DI}{DA} =\frac{DA}{DC}$

$\Rightarrow DI .DC =DA^2 =DH .DO_1$

$\Rightarrow\frac{DI}{DH} =\frac{DO_1}{DC}$

$\Rightarrow\triangle DIH\sim\triangle DO_1C$ (c, g, c)

$\Rightarrow IHO_1C$ nội tiếp

$\Rightarrow\widehat{O_1HC} =\widehat{O_1IC} =\widehat{O_1CI} =\widehat{DHI}$

$\Rightarrow\widehat{CHA} =\widehat{AHI} =\frac12\widehat{CHI} =\frac12\widehat{CO_1I}$

$\Rightarrow\widehat{CHA} =\widehat{CBI}$

có $\widehat{CAH} =\widehat{CIB}$

$\Rightarrow\widehat{HCA} =\widehat{GCF}$

$\Rightarrow\triangle HCA\sim\triangle GCF$ (g, g)

$\Rightarrow\frac{HA}{GF} =\frac{CA}{CF}$

$\triangle CAB\sim\triangle CFE$(g, g)

$\Rightarrow\frac{AB}{FE} =\frac{CA}{CF}$

$\Rightarrow\frac{AB}{FE} =\frac{AH}{FG}$

$\Rightarrow\frac{FE}{FG} =\frac{AB}{AH} =2$ (đpcm)

Hình gửi kèm

•