Chủ đề này có 1 trả lời

[huyqhx9]

Trong Oxy , cho đường thẳng d:x+y+2=0 và đường tròn (C): $x^{2}+y^{2}-4x-2y=0$ .Gọi I là tâm của (C) , M là điểm thuộc d, Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến (C) (A và B  là các tiếp điểm ) và cát tuyến MCD đến đường tròn (C) với C nằm giữa M và D ; AB cắt CD tại N. Tìm tọa độ điểm M, biết CD=1 và ND=$\frac{5}{9}$

[vkhoa]

Trong Oxy , cho đường thẳng d:x+y+2=0 và đường tròn (C): $x^{2}+y^{2}-4x-2y=0$ .Gọi I là tâm của (C) , M là điểm thuộc d, Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến (C) (A và B  là các tiếp điểm ) và cát tuyến MCD đến đường tròn (C) với C nằm giữa M và D ; AB cắt CD tại N. Tìm tọa độ điểm M, biết CD=1 và ND=$\frac{5}{9}$

$\frac{NC}{ND} =\frac{NC}{NB} .\frac{NB}{ND}$ (1)

$\triangle NAC\sim\triangle NDB$ (g, g)

$\Rightarrow\frac{NC}{NB} =\frac{AC}{DB}$ (2)

$\triangle NBC\sim\triangle NDA$ (g, g)

$\Rightarrow\frac{NB}{ND} =\frac{BC}{DA}$ (3)

từ (1, 2, 3)$\Rightarrow\frac{NC}{ND} =\frac{CA .CB}{DA .DB}$ (4)

$\triangle MCB\sim\triangle MBD$ (g, g)

$\Rightarrow\frac{MC}{MB} =\frac{MB}{MD} =\frac{CB}{DB}$

$\Rightarrow\frac{MC}{MD} =\frac{MC}{MB} .\frac{MB}{MD} =\left(\frac{CB}{DB}\right)^2$ (5)

tương tự, $\frac{MC}{MD} =\left(\frac{CA}{DA}\right)^2$ (6)

nhân (5) với (6), $\left(\frac{MC}{MD}\right)^2 =\left(\frac{CB}{DB} .\frac{CA}{DA}\right)^2$

$\Leftrightarrow\frac{MC}{MD} =\frac{CA .CB}{DA .DB}$ (7)

từ (4, 7)$\Rightarrow\frac{MC}{MD} =\frac{NC}{ND} =\frac{CD -ND}{ND} =\frac45$

$\Rightarrow\frac{MC}{MD -MC} =\frac4{5 -4}$

$\Leftrightarrow\frac{MC}{CD} =4$

$\Rightarrow MC =4$

$\Rightarrow MD =5$

$(C)$ tâm $I(2, 1)$ bán kính $\sqrt5$

gọi $E$ là trung điểm $CD$, có $IE\perp CD$

$IE^2 =IC^2 -CE^2 =5 -\frac14 =\frac{19}4$

$ME =\frac12(ME +ME) =\frac12(MC +CE +MD -DE) =\frac12(MC +MD) =\frac92$

$IM^2 =IE^2 +ME^2 =\frac{19}4 +\frac{81}4 =25$

đặt $M (m, -m -2)$

$IM^2 =(m -2)^2 +(-m -3)^2 =25$

$\Leftrightarrow 2m^2 +2m +13 =25$

$\Leftrightarrow m^2 +m -6 =0$

$\Leftrightarrow m =-3\vee m =2$

$\Rightarrow M(-3, 1) \vee M(2, -4)$

Hình gửi kèm

•