Chủ đề này có 4 trả lời

[MyMy ZinDy]

Cho (C): $y=x^{3}-12x+12$

Tìm trên đường thẳng $y=-4$ những điểm từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C)

[vkhoa]

Cho (C): $y=x^{3}-12x+12$

Tìm trên đường thẳng $y=-4$ những điểm từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C)

Cho $M(m, -4)$ thuộc $y =-4$

ta có mọi đường thẳng dạng "$x =$hằng số "đều không phải là tiếp tuyến của $(C)$

gọi N là điểm thuộc $(C)$, $N(x_0, x_0^3 -12x_0 +12)$

$y'(x_0) =3x_0^2 -12$

$\overrightarrow{MN} =(x_0 -m, x_0^3 -12x_0 +16)$

để $MN$ là tiếp tuyến của $(C)$ thì $x_0\neq m$ và $\frac{x_0^3 -12x_0 +16}{x_0 -m} =3x_0^2 -12$ có nghiệm

$\Leftrightarrow x_0^3 -12x_0 +16 =3x_0^2 -3mx_0^2 -12x_0 +12m$

$\Leftrightarrow 2x_0^3 -3mx_0^2 +12m -16 =0$

$\Leftrightarrow 2(x_0^3 -8) -3m(x_0^2 -4) =0$

$\Leftrightarrow (x_0 -2)(2x_0^2 +(4 -3m)x_0+8 -6m) =0$

Qua $M$ có 3 tiếp tuyến đến $(C)$ 

$\Leftrightarrow$ pt trên có 3 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow f(x_0) =2x_0^2 +(4 -3m)x_0+8 -6m =0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 2

$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}\Delta>0\\f(2)\neq0\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}3m^2 +8m -16>0\\m\neq2\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}m <-4 \vee m>\frac43\\m\neq2\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow m$ thuộc $(-\infty, -4)\cup(\frac43, 2)\cup(2,+\infty)$

[chanhquocnghiem]

Cho (C): $y=x^{3}-12x+12$

Tìm trên đường thẳng $y=-4$ những điểm từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C)

Một lời giải khác :

 

Giả sử từ $M(m;-4)$, ta kẻ được $3$ tiếp tuyến đến $(C)$. Phương trình mỗi tiếp tuyến đó đều có dạng

$y=f'(x_0)(x-x_0)+y_0=(3x_0^2-12)(x-x_0)+x_0^3-12x_0+12$

Vì $M(m;-4)$ nằm trên tiếp tuyến nên ta có $-4=(3x_0^2-12)(m-x_0)+x_0^3-12x_0+12$

$\Leftrightarrow 2x_0^3-3mx_0^2+12m-16=0\Leftrightarrow (x_0-2)\left [ 2x_0^2+(4-3m)x_0+8-6m \right ]=0$ (*)

Ta xem (*) là phương trình có ẩn số là $x_0$ (hoành độ tiếp điểm) và tham số $m$.

Từ $M$ kẻ được $3$ tiếp tuyến $\Leftrightarrow$ (*) có $3$ nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow$ Phương trình $2x_0^2+(4-3m)x_0+8-6m =0$ có $2$ nghiệm phân biệt khác $2$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(4-3m)^2-4.2.(8-6m)> 0\\2.2^2+2(4-3m)+8-6m\neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\in \left ( -\infty;-4 \right )\cup \left ( \frac{4}{3};2 \right )\cup \left ( 2;+\infty \right )$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 06-03-2018 - 09:34

[MyMy ZinDy]

 

Cho $M(m, -4)$ thuộc $y =-4$

ta có mọi đường thẳng dạng "$x =$hằng số "đều không phải là tiếp tuyến của $(C)$

gọi N là điểm thuộc $(C)$, $N(x_0, x_0^3 -12x_0 +12)$

$y'(x_0) =3x_0^2 -12$

$\overrightarrow{MN} =(x_0 -m, x_0^3 -12x_0 +16)$

để $MN$ là tiếp tuyến của $(C)$ thì $x_0\neq m$ và $\frac{x_0^3 -12x_0 +16}{x_0 -m} =3x_0^2 -12$ có nghiệm

$\Leftrightarrow x_0^3 -12x_0 +16 =3x_0^2 -3mx_0^2 -12x_0 +12m$

$\Leftrightarrow 2x_0^3 -3mx_0^2 +12m -16 =0$

$\Leftrightarrow 2(x_0^3 -8) -3m(x_0^2 -4) =0$

$\Leftrightarrow (x_0 -2)(2x_0^2 +(4 -3m)x_0+8 -6m) =0$

Qua $M$ có 3 tiếp tuyến đến $(C)$ 

$\Leftrightarrow$ pt trên có 3 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow f(x_0) =2x_0^2 +(4 -3m)x_0+8 -6m =0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 2

$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}\Delta>0\\f(2)\neq0\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}3m^2 +8m -16>0\\m\neq2\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}m <-4 \vee m>\frac43\\m\neq2\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow m$ thuộc $(-\infty, -4)\cup(\frac43, 2)\cup(2,+\infty)$

 

Em chưa hiểu lắm chỗ này ạ! Suy ra $véc% %tơ% %MN% để làm gì ạ anh?

[vkhoa]

Em chưa hiểu lắm chỗ này ạ! Suy ra $véc% %tơ% %MN% để làm gì ạ anh?

Cứ xem $\overrightarrow{MN}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $MN$, từ đó suy ra hệ số góc của đường thẳng $MN$ chính là $\frac{y_{\overrightarrow{MN}}}{x_{\overrightarrow{MN}}} =\frac{x_0^3 -12x_0 +16}{x_0 -m}$