Chủ đề này có 1 trả lời

[hothithuy htt]

cho dãy $u_{n}$ xác định bởi $u_{1}=3$ và $u_{n+1}=\frac{u_{n}^{2}-2}{2u_{n}-3}$

Xác định công thức tổng quát của $u_{n}$ theo n

[lenguyenkhanh]

Ta chứng minh $u_n \neq 2 \forall n \in \mathbb{N}$

Thật vậy, chứng minh bằng phản chứng, giả sử $\exists n \in \mathbb{N}$ thoả $u_n = 2$.

Khi đó $u_n = \frac{u_{n - 1}^2 - 2}{2u_{n - 1} - 3} = 2$

$\Leftrightarrow u_{n-1}^2 - 4u_{n-1} + 4 = 0$ hay $u_{n-1} = 2$

Tiếp tục như vậy có $u_{n-1} = u_{n-2} = ... = u_2 = u_1 = 2$ trái với giả thiết $u_1 = 3$

Vậy $u_n \neq 2 \forall n \in \mathbb{N}$

Từ công thức $u_{n + 1} = \frac{u_n^2 - 2}{2u_n - 3}$ ta có:

$u_{n + 1} - 1 = \frac{(u_n - 1)^2}{2u_n - 3}$

$u_{n+ 1} - 2 = \frac{(u_n - 2)^2}{2u_n - 3} $

Chia vế theo vế có:

$\frac{u_{n + 1} - 1}{u_{n + 1} - 2} = \frac{(u_n - 1)^2}{(u_n - 2)^2}$

Đặt $v_n = \frac{u_n - 1}{u_n - 2}$ thì $v_1 = 2$ và $v_n = v_{n - 1}^2 = v_{n - 2}^4 =...=v_1^{2^{n-1}} = 2^{2^{n-1}}$

$\Leftrightarrow \frac{u_n - 1}{u_n - 2} =  2^{2^{n-1}}$. Từ đó suy ra $u_n = 2 + \frac{1}{2^{2^{n-1}} - 1}$