Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm GTLN của biểu thức
$P=\frac{ab}{\sqrt{5a^2+10ab+10b^2}}+\frac{bc}{\sqrt{5b^2+10bc+10c^2}}+\frac{ca}{\sqrt{5c^2+10ca+10a^2}}$
$P=\frac{ab}{\sqrt{5a^2+10ab+10b^2}}+\frac{bc}{\sqrt{5b^2+10bc+10c^2}}+\frac{ca}{\sqrt{5c^2+10ca+10a^2}}$
Started By datduong2002, 22-03-2018 - 20:03
#2
Posted 22-03-2018 - 21:35
buingoctu
-
- Thành viên
-
- 213 posts
Thượng sĩ
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm GTLN của biểu thức
$P=\frac{ab}{\sqrt{5a^2+10ab+10b^2}}+\frac{bc}{\sqrt{5b^2+10bc+10c^2}}+\frac{ca}{\sqrt{5c^2+10ca+10a^2}}$
Dễ CM: $5a^2+10ab+10b^2\geq (2a+3b)^2$(tách ra chuyển vế cộng trừ bình thường)
Tương tự....
=>$P\leq \frac{ab}{2a+3b}+\frac{bc}{2b+3c}+\frac{ac}{2c+3a}=\frac{ab}{a+a+b+b+b}+...\leq \frac{1}{25}(\frac{ab}{a}+\frac{ab}{a}+\frac{ab}{b}+\frac{ab}{b}+\frac{ab}{b})+...\leq \frac{1}{25}(5b+5a+5c)=\frac{1}{5}(a+b+c)$$\leq \frac{1}{5}\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}=\frac{3}{5}$
Dấu '=" <=> a=b=c=1
Bài này áp dụng cosi, cauchy
Edited by buingoctu, 22-03-2018 - 21:36.
- hoangkimca2k2 and YoLo like this
#3
Posted 22-03-2018 - 21:48
datduong2002
-
- Thành viên mới
-
- 24 posts
Binh nhất
cảm ơn bạn rất nhiều
Dễ CM: $5a^2+10ab+10b^2\geq (2a+3b)^2$(tách ra chuyển vế cộng trừ bình thường)
Tương tự....
=>$P\leq \frac{ab}{2a+3b}+\frac{bc}{2b+3c}+\frac{ac}{2c+3a}=\frac{ab}{a+a+b+b+b}+...\leq \frac{1}{25}(\frac{ab}{a}+\frac{ab}{a}+\frac{ab}{b}+\frac{ab}{b}+\frac{ab}{b})+...\leq \frac{1}{25}(5b+5a+5c)=\frac{1}{5}(a+b+c)$$\leq \frac{1}{5}\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}=\frac{3}{5}$
Dấu '=" <=> a=b=c=1
Bài này áp dụng cosi, cauchy
- buingoctu likes this
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users
