Chủ đề này có 1 trả lời

[melodias2002]

Cho a,b,c>0. CMR $\sum\frac{a^2}{b}\geq 3\sqrt[4]{\frac{a^4+b^4+c^4}{3}}$

[tr2512]

Cho a,b,c>0. CMR $\sum\frac{a^2}{b}\geq 3\sqrt[4]{\frac{a^4+b^4+c^4}{3}}$

Sử dụng bất đẳng thức Holder 

${\left( {\frac{{{a^2}}}{b} + \frac{{{b^2}}}{c} + \frac{{{c^2}}}{a}} \right)^2}\left( {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \right) \ge {\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^3}$

Vậy ta cần chứng minh:

${\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^3} \ge 3\left( {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \right)\sqrt {3\left( {{a^4} + {b^4} + {c^4}} \right)}$

Đặt $x=a^2; y=b^2; z=c^2$ có:

$\Rightarrow {\left( {x + y + z} \right)^3} \ge 3\left( {xy + yz + xz} \right)\sqrt {3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)} \\ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{xy + yz + xz}} - 3 \ge \frac{{3\sqrt {3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)} }}{{x + y + z}} - 3\\ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz}}{{xy + yz + xz}} \ge \frac{{6\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} \right)}}{{\left( {x + y + z} \right)\left( {x + y + z + \sqrt {3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)} } \right)}}\\ \Leftrightarrow 6\left( {xy + yz + zx} \right) \le \left( {x + y + z} \right)\left( {x + y + z + \sqrt {3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)} } \right)$

mà bất đẳng thức cuối luôn đúng theo AM-GM.

Hoàn tất chứng minh.