Chủ đề này có 3 trả lời

[bangbang1412]

Cho hàm $f : I \to \mathbb{R}$ với $I$ là một đoạn mở, giả sử $f \in C^{\infty}(I)$. Khi đó $f$ là giải tích thực khi và chỉ khi với mỗi $x_{0} \in I$ tồn tại một đoạn mở $x_{0} \in J \subset I$ và hai hằng số $R,C$ sao cho:

 

$$|f^{(n)}(x)| \leq \frac{Cn!}{R^{n}} \forall x \in J$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 13-04-2018 - 14:02

[nkhunghpvn1998]

Cái đề này không ổn khi lấy $f(x) = e^x$.

Điều cần chứng minh có lẽ là:

\begin{equation*} |f^{(n)}(x)| \le \frac{n!.C}{R^n} \forall x \in J \end{equation*}

Ngoài ra nếu xét với hàm giải tích phức (hàm chỉnh hình) thì đây là BĐT Cauchy.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nkhunghpvn1998: 13-04-2018 - 13:46

[bangbang1412]

Cái đề này không ổn khi lấy $f(x) = e^x$.

Điều cần chứng minh có lẽ là:

\begin{equation*} |f^{(n)}(x)| \le \frac{n!.C}{R^n} \forall x \in J \end{equation*}

Ngoài ra nếu xét với hàm giải tích phức (hàm chỉnh hình) thì đây là BĐT Cauchy.

Sorry mình viết thiếu $n!$

[nkhunghpvn1998]

Với ý tưởng là việc sử dụng BĐT Cauchy cho hàm chỉnh hình, ta có lời giải sau:

Điều kiện cần:

Giả sử $f$ giải tích thực, khi đó $\displaystyle{f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n}$.

Với mỗi $x_0 \in I$ xét hàm $\displaystyle{g(z) = \sum a_n(z-x_0)^n}$, trong đó $g$ xác định trên $D_{x_0}$ là đĩa mở tâm $x_0$ và có bán kính đủ nhỏ. Do $I$ là compact tương đối trong $\mathbb{C}$ nên tồn tại hữu hạn điểm $x_1,x_2,\dotsc,x_n$ sao cho họ các đĩa mở $\{D_{x_i}\}_{i=1}^n$ phủ $I$.

Đặt $D = \bigcup_{i=1}^{n} D_{x_i}$ thì ta có $g$ là hàm chỉnh hình trên $D$. Khi đó ta có thể áp dụng BĐT Cauchy cho các điểm $x \in I$ và ta có đpcm.

Điều kiện đủ:

Giả sử ta có điều kiện

\begin{equation} |f^{(n)}(x)| \le \frac{n!.C}{R^n} \tag{i} \end{equation}

Sử dụng khai triển Taylor với phần dư Lagrange cho $x, x_0 \in I$ ta có:

\begin{equation*} f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \dotsc + \frac{f^{(n-1)}(x_0)(x-x_0)^{n-1}}{(n-1)!} + \frac{f^{(n)}(c)(x-x_0)^n}{n!}, c\in (x_0,x) \end{equation*}

Sử dụng giả thiết $(i)$ ta có

\begin{equation*} |f^{(n)}(c)| \le \frac{n!.C}{R^n} \end{equation*}

Suy ra

\begin{equation*} \displaystyle{\left | f(x) - f(x_0) - f'(x_0)(x-x_0) - \dotsc - \frac{f^{(n-1)}(x_0)(x-x_0)^{n-1}}{(n-1)!}\right| \le \frac{C}{R^n}|x-x_0|^n} \end{equation*}

Ta chỉ cần chọn lân cận $B$ của $x_0$ đủ nhỏ sao cho $\frac{\sqrt[n]{C}|x-x_0|}{R} \le \alpha < 1$ với mọi $x\in B$ thì chuỗi $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$ hội tụ đều về $f(x)$. Ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nkhunghpvn1998: 14-04-2018 - 12:34