Chủ đề này có 2 trả lời

[Haton Val]

Cho x,y,z thỏa x+y+z=0

CMR $\frac{x+1}{x^2+3}+\frac{y+1}{y^2+3}+\frac{z+1}{z^2+3}$$\geq 1$

[trieutuyennham]

Cho x,y,z thỏa x+y+z=0

CMR $\frac{x+1}{x^2+3}+\frac{y+1}{y^2+3}+\frac{z+1}{z^2+3}$$\geq 1$

BĐT sai

phải cm $VT\leq VP$

Ta xét 3 trường hợp 

+) $x;y\leq -1;z\geq 2$

Khi đó

$VT\leq \frac{z+1}{z^{2}+3}\leq 1\Leftrightarrow \frac{-z^{2}+z-2}{z^{2}+3}\leq 0$ (đúng)

+) $x\leq -1;\geq y+z\geq 1$

Khi đó

$VT\leq \frac{y+1}{y^{2}+3}+\frac{z+1}{z^{2}+3}\leq 1\Leftrightarrow \frac{-(y-1)^{2}}{2(y^{2}+3)}+\frac{-(z-1)^{2}}{2(z^{2}+3)}\leq 0$ (đúng)

+) $x;y;z\geq -1$

Khi đó

$VT\leq \frac{x+1}{3}+\frac{y+1}{3}+\frac{z+1}{3}=1$

Vậy bt được cm.

Đẳng thức xảy ra x=y=z=0

P/s: Bạn nào có cách hay hơn post lên để cho mọi người tham khảo

[trieutuyennham]

Cho x,y,z thỏa x+y+z=0

CMR $\frac{x+1}{x^2+3}+\frac{y+1}{y^2+3}+\frac{z+1}{z^2+3}$$\geq 1$

Đây là lời giải của bạn tôi

BĐT $\sum \frac{(x-1)^{2}}{x^{2}+3}\geq 1$

Không mất tổng quát giả sử $xy\geq 0$

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có

$VT\geq \frac{(x+y-2)^{2}}{x^{2}+y^{2}+6}+\frac{(z-1)^{2}}{z^{2}+3}\geq \frac{(z+2)^{2}}{z^{2}+6}+\frac{(z-1)^{2}}{z^{2}+3}=P$

Dễ dàng cm $P\geq 1$ 

Vậy BĐT được cm