Chủ đề này có 2 trả lời

[mduc123]

Cho tam giác ABC vuông tại C, nội tiếp trong (O). M di động trên (O) không trùng với A,B,C.Đường thẳng qua M vuông góc với AB cắt (O) tại N (khác M). P là hình chiếu của N trên AC, MP cắt (O) tại Q (khác M). P là hình chiếu của N trên AC, MP cắt (O) tại Q (khác M), K=(APQ) $\cap$ AN (K khác A).

1)CM C,N,P,K đồng viên

2)Gọi I là tâm (APQ).Tìm quỹ tích của điểm I

[vkhoa]

Cho tam giác ABC vuông tại C, nội tiếp trong (O). M di động trên (O) không trùng với A,B,C.Đường thẳng qua M vuông góc với AB cắt (O) tại N (khác M). P là hình chiếu của N trên AC, MP cắt (O) tại Q (khác M). P là hình chiếu của N trên AC, MP cắt (O) tại Q (khác M), K=(APQ) $\cap$ AN (K khác A).

1)CM C,N,P,K đồng viên

2)Gọi I là tâm (APQ).Tìm quỹ tích của điểm I

1)

Tứ giác $AKPQ$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{AQM} =\widehat{NKP}$ (1)

có $AM =AN \Rightarrow\widehat{AQM} =\widehat{ACN}$ (2)

từ (1, 2)$\Rightarrow \widehat{NKP} =\widehat{NCP}$

$\Rightarrow NCKP$ nội tiếp

2)

gọi $E$ là trung điểm $AC$

gọi $(D)$ là đường tròn ngoại tiếp $IAE$

$\widehat{CKA} =\widehat{CPN} =90^\circ$

$\Rightarrow EK =EA$

$\Rightarrow\triangle EKI =\triangle EAI$ (c, c, c)

$\Rightarrow\widehat{EIK} =\widehat{EIA} =\frac12\widehat{KIA} =\widehat{KPA} =\widehat{ANC}$ không đổi

$\Rightarrow\widehat{EDA} =2\widehat{EIA} $ không đổi

$\Rightarrow (D)$ cố định

$\Rightarrow I$ di chuyển trên $(D)$

Hình gửi kèm

• 

[mduc123]

Thực ra còn một trường hợp nữa

Lời giải:

Với M và C nằm khác phía với AB ta có:

Gọi O' đối xứng với O qua AP khi đó ta chứng minh O'INA là tứ giác nội tiếp với N là giao điểm của OO' và AP

 

Hình gửi kèm

•