Chủ đề này có 1 trả lời

[tritanngo99]

Chứng minh rằng: $sin(1^0)$ là số vô tỷ.

[Korkot]

Chứng minh rằng: $sin(1^0)$ là số vô tỷ.

Ta chứng minh sin(1) là vô tỷ. 
Ta chứng mính bằng phản chứng. Giả sử sin(1) là hữu tỷ. 
Ta có 
sin(3*x) = 3*sin(x) - 4*[sin(x)]^3 * 
cos(3*x) = (1 - 4*(sin(x))^2)*cos(x) ** 
=> 
1. nếu sin(x) là hữu tỷ thì sin(3*x) là hữu tỷ (do *) 
2. Nếu sin(x) và cos(3*x) là hữu tỷ thì cos(x) là hữu tỷ (do **) 
3. Nếu sin(x) và cos(x) hữu tỷ thì cos(3*x) cũng hữu tỷ (do **) 

Do giả thiết sin(1) là hữu tỷ nên ta có sin(3), sin(9), sin(27), sin(81) là hữu tỷ (do 1) 
cos(9) = sin(81) là hữu tỷ 
=> cos(27) là hữu tỷ (do 3 vì sin(9) và cos(9) hữu tỷ) 
Ta cũng có cos(3) là hữu tỷ (do 2 vì sin(3) và cos(9) hữu tỷ) 
cos(30) = cos(27 + 3) = cos(27)*cos(3) - sin(27)*sin(3) 
VP là hữu tỷ do cos(27), cos(3), sin(27) và sin(3) hữu tỷ) 
=> cos(30) là hữu tỷ => vô lý vì cos(30) = cănhai(3)/2 là vô tỷ 
=> sin(1) là vô tỷ