Chủ đề này có 5 trả lời

[Minhcamgia]

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, $M$ là điểm trên cạnh $BC$, đường thẳng qua $M$ song song với $AB,AC$ cắt $AC,AB$ tại $D,E$, Gọi $N$ là điểm đối xứng $M$ qua $DE$. Chứng minh rằng $N$ thuộc $(O)$ khi và chỉ khi $\Delta ABC$ cân.

Hình gửi kèm

• 

[Korkot]

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, $M$ là điểm trên cạnh $BC$, đường thẳng qua $M$ song song với $AB,AC$ cắt $AC,AB$ tại $D,E$, Gọi $N$ là điểm đối xứng $M$ qua $DE$. Chứng minh rằng $N$ thuộc $(O)$ khi và chỉ khi $\Delta ABC$ cân.

Cm đc AEMD là hbh. Kết hợp M N đồi xứng qua DE có AE=DN

N,M đối xứng qua DE nên $\angle{DAE}= \angle{EMD}= \angle{END}$

=> TG  ANDE nt => tg ANDE là hình thang cân

Cm đc $\Delta BEN \sim \Delta CDN \Rightarrow \angle{BNC} = \angle{END}= \angle{BAC}$

=> N nằm trên (O)

Tam giác ABC cân để làm chi vậy anh? 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 25-04-2018 - 14:42

[Minhcamgia]

Cm đc AEMD là hbh. Kết hợp M N đồi xứng qua DE có AE=DN

N,M đối xứng qua DE nên $\angle{DAE}= \angle{EMD}= \angle{END}$

=> TG  ANDE nt => tg ANDE là hình thang cân

Cm đc $\Delta BEN \sim \Delta CDN \Rightarrow \angle{BNC} = \angle{END}= \angle{BAC}$

=> N nằm trên (O)

Tam giác ABC cân để làm chi vậy anh? 

Vậy bạn làm thế nào chứng minh được $\Delta BEN \sim \Delta CDN$ ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcamgia: 25-04-2018 - 14:45

[VuQuyDat]

$\frac{BE}{EN}=\frac{BE}{EM}=\frac{AB}{AC}=\frac{DM}{DC}=\frac{DN}{DC}$    (1)

 

để $\Delta BEN\sim \Delta CDN$ Thì $\frac{BE}{EN}=\frac{DC}{DN}=\frac{AC}{AB}$   (2)

 

Từ (1); (2) =>  AB/AC=AC/AB  hay AB=AC

[Khoa Linh]

Vì tam giác ABC cân tại A có ME song song AC, MD song song AB nên $EN=EM=EB; DM=DC=DN$

Áp dụng tính chất góc nội tiếp ta có:

$\widehat{BNC}=\widehat{BNM}+\widehat{MNC}=\frac{\widehat{BEM}+\widehat{MDC}}{2}=\frac{\widehat{ABC}+\widehat{ABC}}{2}=\widehat{ABC}$

Suy ra N thuộc (ABC) 

[Minhcamgia]

Lời giải.

Khi $\Delta ABC$ cân tại $A$. Ta có $MD \parallel AB \Rightarrow \angle DMC = \angle ABC = \angle ACB = \angle DCM \Rightarrow \Delta MDC$ cân tại $D \Rightarrow DM = DC \Rightarrow DN = DM = DC \Rightarrow N \in (D;DM) \Rightarrow \angle MNC = \frac{1}{2} \angle MDC = \frac{1}{2} \angle BAC$.

Có $EN = EM = EC \Rightarrow N \in (E;EM) \Rightarrow \angle MNB = \frac{1}{2} \angle MEB = \frac{1}{2} \angle BAC$

$\Rightarrow \angle BNC = \angle BNM + \angle CNM = \frac{1}{2} \angle BAC + \frac{1}{2} \angle BAC= \angle BAC \Rightarrow \angle BNC  = \angle BAC \Rightarrow ANCB$ nội tiếp $\Rightarrow N \in (O)$.

Khi $N \in (O)$ có $MD \parallel AB; ME \parallel AC \Rightarrow \angle DNE = \angle DME = \angle DAE \Rightarrow \angle DNE = \angle DAE \Rightarrow ANDE$ nội tiếp, mà $N \in (O) \Rightarrow \angle NAC = \angle NAD = \angle NED = \angle NBM = \frac{1}{2} \angle NEM \Rightarrow \angle NBM = \frac{1}{2} \angle NEM$ mà $ME = EM \Rightarrow B \in (E;EM) \Rightarrow EM = EB \Rightarrow \angle EMB = \angle ACB = \angle ABC \Rightarrow \Delta ABC$ cân tại $A$.

Vậy $N \in (O)$ khi và chỉ khi $\Delta ABC$ cân tại $A$.

Hình gửi kèm

•