Cho (O) và (O') cắt nhau tại 2 điểm A và B. Tiếp tuyến của (O) tại A cắt (O') tại C, tiếp tuyến của (O') tại A cắt (O) tại D. Kẻ tiếp tuyến CE với (O), E là tiếp điểm . Gọi giao điểm của CO và (O) là điểm K . I là hình chiếu của A trên EK. O1 là trung điểm của AI. Gọi giao điểm của KO1 và (O) là điểm M. gọi giao điểm của AM và CK là điểm R. Chứng minh rằng: RC^2=RM.RA
$AE$ cắt $CO$ tại $F$, có $F$ là trung điểm $AE$ và $AF\perp CO$
$\Rightarrow FO_1//EK$
$\widehat{EAM} =\widehat{MKI} =\widehat{FO_1K}$
$\Rightarrow AMO_1F$ nội tiếp
$\Rightarrow\widehat{AMF} =\widehat{AO_1F} =90^\circ$
$\Rightarrow RF^2 =RA .RM$ (1)
có $\widehat{CAF} =\frac12\widehat{AOE} =\widehat{AOK} =180^\circ -2\widehat{OKA} =180^\circ -\widehat{AKE} =\widehat{AKI}$
$\Rightarrow\triangle CAF\sim\triangle AKI$ (g, g)
$\Rightarrow\frac{CF}{AI} =\frac{AF}{KI}$ (2)
có $\widehat{EAM} =\widehat{IKM}$
$\Rightarrow\triangle FAR\sim\triangle IKO_1$ (g, g)
$\Rightarrow\frac{FR}{IO_1} =\frac{AF}{KI}$ (3)
từ (2, 3)$\Rightarrow\frac{FR}{FC} =\frac{IO_1}{IA} =\frac12$
$\Rightarrow R$ là trung điểm $FC$ (4)
từ (1, 4)$\Rightarrow RC^2 =RF^2 =RA .RM$ (đpcm)
