Cho (O;R) đường thẳng d cắt (O) tại C và D. Lấy điểm M tùy ý trên d, kẻ tiếp tuyến MA,MB (A,B là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của CD.
a/ Chứng minh 5 điểm M,A,I,O,B cùng thuộc 1 đường tròn
b/ Gọi H là trực tâm của $\Delta$MAB. Tứ giác OAHB là hình gì?
c/ Khi điểm M di động trên d, chứng minh rằng AB luôn đi qua điểm cố định.
hinhhoc.png
a)
$\widehat{MAO} =\widehat{MBO} =\widehat{MIO}$
$\Rightarrow M, O, A, B, I$ cùng nằm trên đ tròn đ kính $MO$
b)
$AH //OB, BH //OA \Rightarrow OAHB$ là hình bình hành
mà $AB\perp OH\Rightarrow OAHB$ là hình thoi
c)
tiếp tuyến tại $C, D$ cắt nhau tại $F$
có $OI$ đi qua $F$
$FA$ cắt $(O)$ tại $B'$
$\triangle FAC\sim\triangle FCB'$ (g, g)
$\Rightarrow\frac{FC}{FA} =\frac{FB'}{FC}$
$\Leftrightarrow FC^2 =FA .FB' =FI .FO$
$\Leftrightarrow\frac{FA}{FI} =\frac{FO}{FB'}$
$\Rightarrow\triangle FAI\sim\triangle FOB'$ (c, g, c)
$\Rightarrow\widehat{FIA} =\widehat{FB'O}$
$\Rightarrow AIOB'$ nội tiếp (*)
theo a), $B$ là giao của $(O)$ với đ tròn ngoại tiếp $AIO$
(*)$\Rightarrow B'$ là giao của $(O)$ với đ tròn ng tiếp $AIO$
$\Rightarrow B\equiv B'$
vậy, $AB$ luôn đi qua điểm cố định $F$ (đpcm)