Chủ đề này có 2 trả lời

[Tea Coffee]

Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$.Giả sử $M$ là một điểm trên cung $BC$ không chứa $A$ ($M$ khác $B$,$C$).Gọi $N$ và $P$ theo thứ tự là các điểm đối xứng của $M$ qua các đường thẳng $AB$.$AC$. Tìm vị trí của $M$ để độ dài đoạn $NP$ lớn nhất.

[BurakkuYokuro11]

Vì N, P đối xứng với M qua lần lượt AB và AC nên $AN = AP =(AM)$ => Tam giác ANP cân và $\angle NAP = 2 \angle BAC$ không đổi 
Từ A hạ AK vuông góc NP tại K . => $\angle NAK = \angle BAC$ 
$\frac{NP}{2}$ =NK = sin $\angle NAK$ . AN $\leq 2R . sin\angle BAC$
=> .... 
Dấu bằng xảy ra .....
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BurakkuYokuro11: 23-05-2018 - 10:17

[MoMo123]

Gọi $D,E,F$ lần lượt là hình chiếu của M lên$ AB,BC,CA$

Theo đường thẳng Simson, $D,E,F$ thẳng hàng

 Ta lại có $NP=2DF$ nên chỉ cần tìm giá trị của DF lớn nhất là được

Dễ dàng chứng minh $\Delta MDF \sim \Delta MBC$

$\Rightarrow \frac{DF}{BC}=\frac{MD}{MB}\leq 1$

$$\Rightarrow DF\leq BC$$

$$\Rightarrow NP\leq 2BC$$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow$ A và M đối xứng với nhau qua O

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 23-05-2018 - 16:11