Chủ đề này có 1 trả lời

[01634908884]

Tam giác ABC, tâm nội tiếp (I), tâm ngoại tiếp (O) , trưc tâm H, (I) tiếp xúc AC, AB tại E,F. Lấy K đối xứng I qua EF. Đường cao BX, CY. Chứng minh K là tâm nội tiếp tam giác AXY

[Duy Thai2002]

Gọi $Z=AI\cap EF$

Ta thấy rằng $AK$ là phân giác của $\angle XAY$ nên ta cần chứng minh $YK$ là phân giác $\angle AYX$. Mà do $\angle AYX=\angle ACB$ nên nếu ta chứng minh được $\angle AYK=\angle ACI$ thì $\angle AYK=\angle ACI=\frac{1}{2}\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AYX$  sẽ dẫn tới $YK$ là phân giác của $\angle XAY$, từ đó mà suy được $K$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta AXY$

Ta sẽ đi chứng minh $\angle AYK=\angle ACI$. Thật vậy, ta có:

$\frac{AY}{AC}=cosA=2cos^{2}\frac{A}{2}-1=2\frac{AE^{2}}{AI^{2}}-1=\frac{2AE^{2}-AI^{2}}{AI^{2}}=\frac{AE^{2}-EI^{2}}{AI^{2}}=\frac{AZ.AI-IZ.AI}{AI^{2}}=\frac{AZ.AI-AI.ZK}{AI^{2}}=\frac{AI.AK}{AI^{2}}=\frac{AK}{AI}$

$=> \frac{AY}{AC }=\frac{AK}{AI}$

Lại có: $\angle YAK=\angle IAC=\frac{1}{2}\angle BAC$

$=> \Delta AYK \sim \Delta ACI$ ( c-g-c)

$=> \angle AYK=\angle ACI$

$=>$ Đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Duy Thai2002: 01-06-2018 - 16:10