Chủ đề này có 2 trả lời

[nguyenducthanh]

Tìm các số nguyên dương a,b biết các PT x² -2ax-3b = 0 và x²- 2bx- 3a = 0 đều có nghiệm nguyên

[Tea Coffee]

Theo giả thiết thì $\Delta (1)=4a^{2}+12b$ là số chính phương.

$\Delta (2)=4b^{2}+12a$ là số chính phương.

KMTTQ, giả sử $a\geq b$

$=>(2a)^{2}< 4a^{2}+12b\leq 4a^{2}+12a< (2a+3)^{2}$ do $a,b\epsilon \mathbb{Z}^{+}$

$=>\begin{bmatrix}4a^{2}+12b=(2a+1)^{2} \\ 4a^{2}+12b=(2a+2)^{2} \end{bmatrix}$

+)T/H1: $4a^{2}+12b=(2a+1)^{2}$ vô nghiệm do VT chia hết cho $2$ còn VP thì không.

+)T/H2:$4a^{2}+12b=(2a+2)^{2}<=>a^{2}+3b=a^{2}+2a+1<=>3b=2a+1$

$b^{2}+3a$ là số chính phương $=>9b^{2}+27a$ là số chính phương

$9b^{2}+27a=(2a+1)^{2}+27a=4a^{2}+31a+1$ là số chính phương

$=>64a^{2}+496a+16=(8a+31)^{2}-945$ là số chính phương...

[nguyenducthanh]

$\Delta$^'₁= a²+3b

$\Delta$'₂ = b²+3a

Giả sử a$\geqslant$ b

Có a²< a²+3b < a²+4a< a²+4a+4= (a+2)²

do a,b nguyên nên  a²+3b =(a+ 1)² suy ra 3b = 2a + 1

Xét $\Delta$₂ =  4b²+12a

4 $\Delta$₂ =  16b²+72b-24 = k²

suy ra ( 4b-k+9)(4b+k+9) = 105

Tìm được b = 11 hoặc b= 1

b = 11 thì a = 16

b= 1 thì a = 1

Đến đây thử lại