Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2018-2019
#1
Đã gửi 05-06-2018 - 18:48
#2
Đã gửi 05-06-2018 - 19:45
Câu 5:
Từ giả thiết ta có: $c=a+b-\sqrt{ab}$
$P=\frac{c^2}{ab}+\frac{c^2}{a^2+b^2}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}$
$P\geq c^2(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2})+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}\geq \frac{9c^2}{(a+b)^2+2ab}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b} \geq \frac{6(a+b-\sqrt{ab})^2}{(a+b)^2}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}=6-\frac{11\sqrt{ab}}{a+b}+\frac{6ab}{(a+b)^2}=6(\frac{\sqrt{ab}}{a+b}-\frac{1}{2})^2-\frac{5\sqrt{ab}}{a+b}+\frac{9}{2}$ $\geq -\frac{5}{2}+\frac{9}{2}=2$ ( theo các BĐT AM-GM và Schwarz)
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c>0$
Vậy $MinP=2\Leftrightarrow a=b=c>0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xuanhoan23112002: 05-06-2018 - 19:53
- Drago, Khoa Linh và thanhdatqv2003 thích
#3
Đã gửi 05-06-2018 - 21:18
Một cách khác cho câu 5:
Nếu $a+b-c>0$
Từ giả thiết suy ra: $a+b=\sqrt{ab}+c$$\Rightarrow$$c\geq \sqrt{ab}$
Ta có: $P=\frac{c^2}{(a+b-c)^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}=\frac{c^2}{ab}+\frac{c^2}{(a+b)^2-2ab}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}=\frac{c^2}{ab}+\frac{c^2}{(\sqrt{ab}+c)^2-2ab}+\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}+c}$
Đặt $c=x,\sqrt{ab}=y$($x\geq y$)$\Rightarrow xy+3y^2\leq 4x^2$
$\Rightarrow P=\frac{x^2}{y^2}+\frac{x^2}{(x+y)^2-2y^2}+\frac{y}{x+y}=\frac{x^2}{2y^2}+\frac{x^2}{(x+y)^2-2y^2}+\frac{x^2}{2y^2}+\frac{y}{x+y}$
Áp dụng $C-S$, ta được: $\frac{x^2}{2y^2}+\frac{x^2}{(x+y)^2-2y^2}\geq \frac{4x^2}{(x+y)^2}$ và $\frac{x^2}{2y^2}+\frac{y}{x+y}=\frac{x^2}{2y^2}+\frac{y^2}{xy+y^2}\geq \frac{(x+y)^2}{xy+3y^2}\geq \frac{(x+y)^2}{4x^2}$
$\Rightarrow P\geq\frac{4x^2}{(x+y)^2}+ \frac{(x+y)^2}{4x^2}\geq 2$ ($AM-GM$)
Nếu $a+b-c<0$
$\Rightarrow P>\frac{c^2}{ab}+\frac{c^2}{c^2-2ab}+\frac{\sqrt{ab}}{c}\geq \frac{(c+c)^2}{2ab+c^2-2ab}+\frac{c^2}{2ab}+\frac{\sqrt{ab}}{c}=4+\frac{c^2}{2ab}+\frac{\sqrt{ab}}{2c}+\frac{\sqrt{ab}}{2c}\geq 4+\frac{3}{2}=\frac{11}{2}>2$
Vậy $Min$ của $P$ là $2$
Dấu ''='' xảy ra khi: $a=b=c$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 08-06-2018 - 17:59
Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc
#4
Đã gửi 20-06-2018 - 06:28
#5
Đã gửi 20-06-2018 - 06:30
Câu 5:
Từ giả thiết ta có: $c=a+b-\sqrt{ab}$
$P=\frac{c^2}{ab}+\frac{c^2}{a^2+b^2}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}$
$P\geq c^2(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2})+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}\geq \frac{9c^2}{(a+b)^2+2ab}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b} \geq \frac{6(a+b-\sqrt{ab})^2}{(a+b)^2}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}=6-\frac{11\sqrt{ab}}{a+b}+\frac{6ab}{(a+b)^2}=6(\frac{\sqrt{ab}}{a+b}-\frac{1}{2})^2-\frac{5\sqrt{ab}}{a+b}+\frac{9}{2}$ $\geq -\frac{5}{2}+\frac{9}{2}=2$ ( theo các BĐT AM-GM và Schwarz)
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c>0$
Vậy $MinP=2\Leftrightarrow a=b=c>0$
cách hay đấy, giải dùm mình bài 4 ý c
#6
Đã gửi 04-07-2018 - 14:44
Ai giải giúp em bài hình với khó quá
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh