Chủ đề này có 1 trả lời

[Chika Mayona]

Cho hàm số $y=x^4-2mx^2+m$ có đồ thị $(C)$ Gọi $M$ là điểm thuộc đồ thị $(C)$ có hoành độ bằng $1$. Biết tiếp tuyến của $(C)$ tại M cắt đường tròn $(T):x^2+(y-1)^2=4$ tạo thành dây cung có độ dài nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $m\in (0;1)$

B. $m\in (1;2)$

C. $m\in (-1;0)$

D. $m\in (-2;-1)$

[chanhquocnghiem]

Cho hàm số $y=x^4-2mx^2+m$ có đồ thị $(C)$ Gọi $M$ là điểm thuộc đồ thị $(C)$ có hoành độ bằng $1$. Biết tiếp tuyến của $(C)$ tại M cắt đường tròn $(T):x^2+(y-1)^2=4$ tạo thành dây cung có độ dài nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $m\in (0;1)$

B. $m\in (1;2)$

C. $m\in (-1;0)$

D. $m\in (-2;-1)$

Tọa độ điểm $M$ là $M(1;1-m)$

$y'=4x^3-4mx\Rightarrow y'(1)=4-4m$

Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại $M$ là $t:y=(4-4m)x+3m-3$ hay $t:(4-4m)x-y+3m-3=0$

Ta biết rằng một đường thẳng $t$ cắt đường tròn tâm $I$ tạo thành dây cung thì dây cung càng nhỏ khi $d_{(I,t)}$ càng lớn hay $d_{(I,t)}^2$ càng lớn

$d_{(I,t)}=\frac{|(4-4m).0-1+3m-3|}{\sqrt{(4-4m)^2+1}}=\frac{|3m-4|}{\sqrt{(4-4m)^2+1}}$

$d_{(I,t)}^2=\frac{9m^2-24m+16}{16m^2-32m+17}=\frac{9}{16}+\frac{\frac{103}{16}-6m}{16m^2-32m+17}$

$\left ( d_{(I,t)}^2 \right )'=\frac{\left ( -96m^2+192m-102 \right )+\left ( 6m-\frac{103}{16} \right )\left ( 32m-32 \right )}{(16m^2-32m+17)^2}=\frac{96m^2-206m+104}{(16m^2-32m+17)^2}$

$\left ( d_{(I,t)}^2 \right )'=0\Leftrightarrow m=\frac{13}{16}$ (cực đại) hoặc $m=\frac{4}{3}$ (cực tiểu)

 

$\Rightarrow$ dây cung có độ dài nhỏ nhất khi $m=\frac{13}{16}$ $\rightarrow$ chọn $A$.