Chủ đề này có 1 trả lời

[Mihawkdacula]

Cho hàm $f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}$ có các đạo hàm riêng bị chặn.

a) Chứng minh hàm $f$ liên tục trên $\mathbb{R}^3$.

b) Với mỗi $r>0$, kí hiệu $B_{r}$ là quả cầu có tâm gốc toạ độ và bán kính r trong $\mathbb{R}^3$. Tính giới hạn $\lim_{r\rightarrow0^{+}}\frac{1}{r^3}\int_{B_{r}}f(x)dx$.

 

[nthkhnimqt]

Tính liên tục là hiển nhiên. Còn giới hạn dễ dàng có được nhờ định lý giá trị trung bình dạng tích phân. Ta sẽ có

\[\mathop {\lim }\limits_{r \to {0^ + }} \frac{1}{{{r^3}}}\int_{B\left[ {0,r} \right]} {f\left( x \right)dx}  = \frac{4}{3}\pi f\left( 0 \right).\]