Chủ đề này có 1 trả lời

[NTSon1511]

Cho 2 số dương $a,b$. Số $c$ là một số khác 0 thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$. CMR

$\sqrt{a+b}=\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}$

[Khoa Linh]

Cho 2 số dương $a,b$. Số $c$ là một số khác 0 thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$. CMR

$\sqrt{a+b}=\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}$

Trước hết ta lập luận: Vì $a,b>0$ nên $c<0$

Suy ra $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}<0\Leftrightarrow \frac{b+c}{bc}<0\Rightarrow b+c>0$

Tương tự nên ta có: $c+a>0$

 

Từ giả thiết suy ra $ab+bc+ca=0$

$\Rightarrow (c+a)(c+b)=c^2\Rightarrow 2\sqrt{(c+a)(c+b)}=-2c$ (vì $c<0$)

$\Leftrightarrow (c+a)+(c+b)+2\sqrt{(c+a)(c+b)}=a+b\Rightarrow \left ( \sqrt{c+a}+\sqrt{c+b} \right )^2=a+b\Rightarrow$ đpcm