Chủ đề này có 1 trả lời

[canletgo]

Hãy thiết lập công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân cộng có số hạng đầu bằng a và công sai, công bội là (d, p).

$u_1=a$

$a_{n+1}=qa_n+d$

[chanhquocnghiem]

Hãy thiết lập công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân cộng có số hạng đầu bằng a và công sai, công bội là (d, p).

$u_1=a$

$a_{n+1}=qa_n+d$

$u_1=a$

$u_2=qa+d$ ($1$ chữ $q$ và $1$ chữ $d$)

$u_3=q(qa+d)+d$ ($2$ chữ $q$ và $2$ chữ $d$)

$u_4=q(q(qa+d)+d)+d$ ($3$ chữ $q$ và $3$ chữ $d$)

................................................

................................................

$u_n=q(q(q...q(qa+d)+d...+d)+d)+d$ (n-1 chữ $q$ và n-1 chữ $d$)

"Xích-ma" tất cả chúng nó lại :

$S_n=Ma+Nd$

Trong đó :

$M=1+q+q^2+...+q^{n-1}$

và $N=1+(q+1)+(q^2+q+1)+...+(q^{n-2}+q^{n-3}+...+q+1)$

+ Nếu $q=1$ thì $M=n$ và $N=1+2+...+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$

   $\Rightarrow S_n=Ma+Nd=na+\frac{n(n-1)}{2}\ d$

+ Nếu $q\neq 1$ thì :

   $M=1+q+q^2+...+q^{n-1}=\frac{q^n-1}{q-1}$

   $N=1+(q+1)+(q^2+q+1)+...+(q^{n-2}+q^{n-3}+...+q+1)$

      $=\frac{q-1}{q-1}+\frac{q^2-1}{q-1}+\frac{q^3-1}{q-1}+...+\frac{q^{n-1}-1}{q-1}$

      $=\frac{\frac{q^n-q}{q-1}-(n-1)}{q-1}=\frac{q^n-nq+n-1}{(q-1)^2}$

      $\Rightarrow S_n=\frac{q^n-1}{q-1}\ a+\frac{q^n-nq+n-1}{(q-1)^2}\ d$

 

Vậy :

   $S_n=\left\{\begin{matrix}na+\frac{n(n-1)}{2}\ d\ neu\ q=1\\\frac{q^n-1}{q-1}\ a+\frac{q^n-nq+n-1}{(q-1)^2}\ d\ neu\ q\neq 1 \end{matrix}\right.$