1 reply to this topic

[Lao Hac]

Cho số thực a, b thỏa mãn $a+b\geq 2$. CMR trong 2 phương trình sau có ít nhất 1 phương trình có nghiệm

$x^2+2a^2bx+b^5=0;x^2+2b^2ax+a^5=0$

[Korkot]

Cho số thực a, b thỏa mãn $a+b\geq 2$. CMR trong 2 phương trình sau có ít nhất 1 phương trình có nghiệm

$x^2+2a^2bx+b^5=0;x^2+2b^2ax+a^5=0$

Giả sử điều ngược lại. Xét $a+b \geq 2$ ta có $2(a^3+b^3) \leq (a+b)(a^3+b^3)=a^4+b^4+a^3b+b^3a \leq 2(a^4+b^4)$

$\Leftrightarrow a^3+b^3 \leq a^4+b^4$ (*) 

$x^2+2a^2bx+b^5=0 (1); x^2+2b^2ax+a^5=0 (2)$

a=0 thì (2) có nghiệm, b=0 thì (1) có nghiệm. Tức $ab \neq 0$ nên ta có:

$\frac{\Delta'_1}{b^2}=\frac{a^4b^2-b^5}{b^2}=a^4-b^3<0$

Cmtt ta có $\frac{\Delta'_2}{a^2}=\frac{b^4a^2-a^5}{a^2}=b^4-a^3<0$

$\Leftrightarrow a^4+b^4-a^3-b^3<0$

Nhưng theo bđt (*) điều này vô lý nên ta có đpcm

Edited by Korkot, 28-06-2018 - 17:29.