Chủ đề này có 1 trả lời

[dungxibo123]

Cho dãy số $x_{n}$ xác định bởi 
$\left\{\begin{matrix} x_0,x_1,x_2 \in \mathbb{R}\\ x_{n+3}=log_{5}(3^{x_n}+4^{x_{n+2}}) \end{matrix}\right.$

Tìm GHHH của $x_{n}$

[VricRaet]

Xét 2 dãy $(a_{n}),(b_{n})$ thỏa mãn:
$a_{0}=a_{1}=a_{2}=min(x_{0};x_{1};x_{2});a_{n+3}=log_{5}(3^{a_{n}}+4^{a_{n+2}})$

$b_{0}=b_{1}=b_{2}=max(x_{0};x_{1};x_{2});b_{n+3}=log_{5}(3^{b_{n}}+4^{b_{n+2}})$

Hàm số $f(x)=log_{5}(3^{x}+4^{x})$ có điểm bất động tại x=2 nên ta xét:
TH1:$min(x_{0};x_{1};x_{2})\geq 2$ suy ra $a_{0}=a_{1}=a_{2}\geq 2$

Bằng quy nạp chứng minh $a_{n}\geq 2$ và $a_{n+1}\leq a_{n}$

Suy ra dãy $(a_{n})$ hội tụ và $lim(a_{n})=2$
TH2: $min(x_{0};x_{1};x_{2})< 2$
Tương tự có dãy (a_n) tăng và bị chặn trên và $lim(a_{n})=2$
Bằng quy nạp cũng có $lim(b_{n})=2$ 
Tiếp tục dùng quy nạp để chứng minh: $a_{n}\leq x_{n}\leq b_{n}$

Từ nguyên lý kẹp có: $lim(x_{n})=2$