Chủ đề này có 14 trả lời

[conankun]

Đề thi viết bằng tiếng anh em sưu tầm được trên mạng. Anh chị tham khảo.

 

Bản dịch Tiếng Việt (By Phạm Quốc Sang)

Bài 1:.Gọi $(T)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Điểm $D$ và $E$ nằm trên các đoạn $AB$ và $AC$ tương ứng sao cho $AD=AE$. Đường trung trực của cạnh $BD$ và $CE$ lần lượt cắt cung nhỏ $AB$ và $AC$ tại $F$ và $G$. Chứng minh rằng $DE$ và $FG$ song song hoặc trùng nhau.

Bài 2: Tìm tất cả các số nguyên $n \geq 3$ sao cho tồn tại các số thực $a_1, a_2, \dots a_{n + 2}$ thoả mãn 

$$a_{n + 1} = a_1, a_{n + 2} = a_2$$ 

và

$$a_ia_{i + 1} + 1 = a_{i + 2} \,\,(*),$$

với mọi $i = 1, 2, \dots, n$

Bài 3: Tam giác anti-Pascal là một tam giác đều gồm các dãy số sao cho:

     Ngoại trừ các chữ số ở hàng cuối cùng thì mỗi số là giá trị tuyệt đối của hiệu 2 số gần nhất bên dưới nó.

Ví dụ sau đây là một tam giác anti-Pascal với 4 hàng chứa các số từ $1$ tới $10$:          

$4$

$2$       $6$

$5$        $7$        $1$

         $8$        $3$       $10$        $9$      

Tồn tại hay không một tam giác anti-Pascal với $2018$ hàng, chứa mỗi số nguyên từ $1$ tới $1+2+…+2018$?

File gửi kèm

•  ava1.png   345.11K   0 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 09-07-2018 - 20:41

[Hr MiSu]

Mình dịch tạm nha

File gửi kèm

•  Bài 1.pdf   179.38K   651 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hr MiSu: 09-07-2018 - 20:21

[lenadal]

Bài 2: Ý tưởng chứng minh
a_i=a_i+3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lenadal: 09-07-2018 - 20:32

[PhamQuocSang]

 

Bài 1: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $T$. Điểm $D$ và $E$ nằm trên các đoạn $AB$ và $AC$ tương ứng sao cho $AD=AE$. Đường trung trực của cạnh $BD$ và $CE$ lần lượt cắt cung nhỏ $AB$ và $AC$ tại $F$ và $G$. Chứng minh rằng $DE$ và $FG$ song song hoặc trùng nhau.

 

Gọi $M$, $N$, $M'$, $N'$ lần lượt là điểm chính giữa cung nhỏ $AB$, cung nhỏ $AC$, cung lớn $ACB$, và cung lớn $ABC$. Gọi $O$ là tâm của đường tròn $\Gamma$.\\ Lấy điểm $K \neq F$ trên $\Gamma$ sao cho $FK$ và $MM'$ song song, lấy điểm $L \neq G$ trên $\Gamma$ sao cho $GL$ và $NN'$ song song.\\ Ta dễ thấy rằng khoảng cách giữa $FK$ và $MM'$ thì bằng một nữa của $AD$ = $AE$, và cùng bằng khoảng cách giữa $GL$ và $NN'$.\\ Từ đó ta có $MM'KF$ là hình thang cân, tương tự $N'NGL$ là hình thang cân, và do $MF = M'K = NG.$ Nên $MNGF$ là hình thang cân. Ta dễ thấy rằng $MN$ và $DE$ cùng vuông góc với phân giác góc $\angle BAC$ nên ta suy ra điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PhamQuocSang: 09-07-2018 - 20:43

[PhamQuocSang]

 

Bài 2: Tìm tất cả các số nguyên $n \geq 3$ sao cho tồn tại các số thực $a_1, a_2, \dots a_{n + 2}$ thoả mãn 

$$a_{n + 1} = a_1, a_{n + 2} = a_2$$ 

và

$$a_ia_{i + 1} + 1 = a_{i + 2} \,\,(*),$$

với mọi $i = 1, 2, \dots, n$

 

Từ $(*)$ ta suy ra \begin{align*} {a_i}{a_{i + 1}}{a_{i + 2}} + {a_{i + 2}} = a_{i + 2}^2 &\Rightarrow \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} {a_{i + 1}}{a_{i + 2}} + \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} = \sum\limits_{i = 1}^n {a_i^2} \\ &\Leftrightarrow \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} \left( {{a_{i + 1}}{a_{i + 2}} + 1} \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {a_i^2} \\ &\Leftrightarrow \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} {a_{i + 3}} = \sum\limits_{i = 1}^n {a_i^2} \end{align*} Từ đây ta suy ra $a_i=a_{i+3}$ với $1\leq i\leq n$. Do đó, $n$ chia hết cho $3$, thì thoả yêu cầu bài toán.\\ Ngoài ra, ta thấy $a_{3k+1}=a_{3k+2}=-1, a_{3k+3}=2$ là một bộ thoả yêu cầu bài toán $0\leq k\leq\dfrac{n}{3}$

[Ha Minh Hieu]

BÀI 1:

Ý TƯỞNG CHỨNG MINH:

XÉT 2TH:

+, TAM GIÁC ABC CÂN TẠI A VÀ D,E TRUNG VỚI B,C => BÀI TOÁN HIỂN NHIÊN ĐÚNG

+, TAM GIÁC ABC LÀ TAM GIÁC BÌNH THƯỜNG

KHI ĐÓ ÁP DỤNG HỆ TỌA ĐỘ TỈ CỰ TA TÌM TỌA ĐỘ CỦA CÁC ĐIỂM D,E,F,G ( ĐIỀU NÀY HOÀN TOÀN LÀM ĐƯỢC THEO HỆ THỨC JACOBI)

=> LẬP MA TRẬN THỂ HIỆN SỰ SONG SONG GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG NÀY => ĐPCM

[Hr MiSu]

G ọi, M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,AC,NC,MB

Ta có MQ=AD/2=AE/2=NP suy ra khoảng cách từ O tới FH,GH là bằng nhau suy ra g óc FOH= g óc HOG

Do đó OH là phân giác của g óc FOG v à g óc FHG , từ đó dễ suy ra FG // DE do cùng vuông góc với phân giác góc A

[bonly01]

Lời giải bài 1 và 2 của ngày thứ nhất https://www.facebook...3&theater&ifg=1

[Minhnksc]

Ngày thi thứ hai:

[Mình lười không đánh latex nên chỉ có thế này thôi ]

 36937009_2159115877704465_8505443157834465280_n.jpg   60.59K   309 Số lần tải

[Namthemaster1234]

Từ $(*)$ ta suy ra \begin{align*} {a_i}{a_{i + 1}}{a_{i + 2}} + {a_{i + 2}} = a_{i + 2}^2 &\Rightarrow \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} {a_{i + 1}}{a_{i + 2}} + \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} = \sum\limits_{i = 1}^n {a_i^2} \\ &\Leftrightarrow \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} \left( {{a_{i + 1}}{a_{i + 2}} + 1} \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {a_i^2} \\ &\Leftrightarrow \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} {a_{i + 3}} = \sum\limits_{i = 1}^n {a_i^2} \end{align*} Từ đây ta suy ra $a_i=a_{i+3}$ với $1\leq i\leq n$. Do đó, $n$ chia hết cho $3$, thì thoả yêu cầu bài toán.\\ Ngoài ra, ta thấy $a_{3k+1}=a_{3k+2}=-1, a_{3k+3}=2$ là một bộ thoả yêu cầu bài toán $0\leq k\leq\dfrac{n}{3}$

 

Doan nay la vi sao ?

[Serinkain]

Bài 1:
Gọi GE, FD cắt (O) tại S, T. Thấy rằng AS=AE. Tương tự AD=AT. Như vậy SDET nội tiếp <=> DE//FG.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Serinkain: 11-07-2018 - 00:18

[Le Hoang Anh Tuan]

Bài 4, ý tưởng của em là chứng minh trong 1 hình vuông nhỏ 8x8 có thể đặt được nhiều nhất 32 con mã nếu không có sự can thiệp của Bảo, có rồi nên chỉ còn 16, ý tưởng là vẽ đan xen nha mn <3

[toantinhoc]

Ngày thi thứ hai:

[Mình lười không đánh latex nên chỉ có thế này thôi ]

36937009_2159115877704465_8505443157834465280_n.jpg

1. Một vị trí là một điểm $(x;y)$ trên mặt phẳng sao cho $x,y$ là các số nguyên dương bé hơn hoặc bằng $20$. Lúc đầu tất cả $400$ ví trí đều trống. Ánh và Bảo lần lượt đặt các viên đá vào các vị trí trống với Ánh là người đi trước. Trong mỗi lượt của mình, Ánh đặt một viên đá màu đỏ vào một vị trí trống sao cho khoảng cách giữa hai viên đá màu đỏ bất kỳ là khác $\sqrt{5}$ và Bảo đặt một viên đá màu xanh vào một vị trí trống bất kỳ. Hai bạn sẽ dừng lại khi một trong hai người không thể đặt được các viên đá. Tìm số $K$ lớn nhất sao cho Ánh luôn đặt được ít nhất $K$ viên đá mà không phụ thuộc cách đặt đá của Bảo.
2. Cho $a_1,\,a_2,\,\ldots$ là một dãy vô hạn các số nguyên dương. Giả sử tồn tại số nguyên dương $N$ sao cho\[\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} + \frac{{{a_2}}}{{{a_3}}} + \ldots + \frac{{{a_{n - 1}}}}{{{a_n}}} + \frac{{{a_n}}}{{{a_1}}} \in \mathbb Z\quad\forall\,n\ge N.\]Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $M$ sao cho $a_{m+1}=a_m\;\forall\,m\ge M$.
3. Một tứ giác lồi $ABCD$ thỏa mãn $AB \cdot CD = BC \cdot DA $. Điểm $X$ nằm bên trong tứ giác $ABCD$ sao cho $\angle{XAB} = \angle{XCD}$, $\angle{XBC} = \angle{XDA}$. Chứng minh rằng $\angle{BXA} + \angle{DXC} = 180^0 $.

[xuanhoan23112002]

Kết quả chính thức IMO 2018

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xuanhoan23112002: 12-07-2018 - 21:53

[AnhTran2911]

IMO năm nay nhiều bài đơn giản quá, đặc biệt là phần hình học,nhiều kết quả quen thuộc được lặp lại