Chủ đề này có 2 trả lời

[doandoan314]

Với $x, y$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y\leq1$. Tìm $GTNN P=(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\sqrt{1+x^{2}y^{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandoan314: 17-07-2018 - 02:22

[BurakkuYokuro11]

Với $x, y$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y\leq$. Tìm $GTNN P=(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\sqrt{1+x^{2}y^{2}}$

 

$x+y \leq ?$ vậy bạn 

[BurakkuYokuro11]

Mình cho $x+y\leq 1$ nhé 

 

Áp dụng BĐT AMGM : $xy \leq \frac{(x+y)^2}{4} => (xy)^2 \leq \frac{(x+y)^4}{16}$

Ta có : $\frac{1}{x}+\frac{1}{y} = \frac{x+y}{xy}$

$P = (\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\sqrt{1+(xy)^2}$

$= (x+y)\sqrt{\frac{1}{(xy)^2}+1} $

$\geq (x+y)\sqrt{\frac{16}{(x+y)^4}+1} $

$= \sqrt{\frac{16}{(x+y)^2}+(x+y)^2} $

$= \sqrt{\frac{15}{(x+y)^2}+\frac{1}{(x+y)^2}+(x+y)^2}$

$\geq \sqrt{15+2}=\sqrt{17}$

Dấu bằng xảy ra :$ x=y=\frac{1}{2}$