Chứng minh rằng $x^4+y^4+z^4\geq xyz(x+y+z)$ với mọi x, y, z
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandoan314: 17-07-2018 - 18:07
Chứng minh rằng $x^4+y^4+z^4\geq xyz(x+y+z)$ với mọi x, y, z
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandoan314: 17-07-2018 - 18:07
Không phải ai cũng có khả năng đoạt giải Nobel hay Fields nhưng ai cũng có thể sống để cuộc sống của mình có ý nghĩa.- GS NGÔ BẢO CHÂU
Chứng minh rằng $x^4+y^4+z^4\geq xyz(x+y+z)$ với mọi x, y, z
$x^4+x^4+y^4+z^4\geq 4\sqrt[4]{x^8y^4z^4}=4\left | x^2yz \right |\geq 4x^2yz$
Tương tự ta có: $y^4+y^4+z^4+x^4\geq 4y^2zx$; $z^4+z^4+x^4+y^4\geq 4z^2xy$
Cộng vào ta có đpcm
$\sqrt[LOVE]{MATH}$
"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I
do mathematics to keep happy" - Alfréd Rényi
BDDT phụ : $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq xy+yz+xz$ (tự cm đc)
Ad BĐT trên $x^{4}+y^{4}+z^{4}\geq x^{2}.y^2+y^2.z^2+z^2.x^2\geq xy^2z+xz^2y+zyx^2 =xyz(x+y+z )$
Dấu = xr khi x=y=z
"Sau khi đã loại bỏ hết các yếu tố không thực hay vô lý, cái còn lại dù có vô lý đến đâu cũng phải coi đó là sự thật."
- Conan Doyle
Giả sử $z= \min \left ( x,\,y,\,z \right )$
Nếu $xyz= 0$ thì hiển nhiên bất đẳng thức đúng!
Nếu $xyz\neq 0$ thay $\left ( x,\,y,\,z \right )\rightarrow \left ( -\,x,\,-\,y,\,-\,z \right )$ thì bất đẳng thức không đổi nên ta có thể giả sử $xyz\leqq 0$, mà $z= \min \left ( x,\,y,\,z \right )$ nên $xy\geqq 0$. Khi đó:
$$\sum\limits_{cyc} x^{4}- xyz\left ( \sum\limits_{cyc}x \right )= \left \{ \left ( x+ y \right )^{2}+ z^{2} \right \}\left ( x- y \right )^{2}+ \left [ \left ( x- z \right )\left ( y- z \right )+ xy \right ]\left ( x- z \right )\left ( y- z \right )\geqq 0$$
$$x^{4}+ \underbrace{yz}_{\geqq 0}\left ( y^{2}+ z^{2} \right )\geqq xyz\left ( x+ y+ z \right )$$
$$\left ( x^{2}+ yz \right )^{2}+ \underbrace{yz}_{\geqq 0}\left ( y^{2}+ z^{2} \right )\geqq 2\left ( x+ y+ z \right )xyz$$
$$x^{2}\left ( x^{2}+ y^{2} \right )+ \underbrace{yz\left ( y+ z \right )\left ( z+ x \right )}_{\geqq 0}\geqq 2\left ( x+ y+ z \right )xyz$$
$$\left ( x^{2}+ yz \right )\left ( y^{2}+ zx \right )+ \underbrace{xy}_{\geqq 0} \left ( y^{2}+ z^{2} \right )\geqq 2\left ( x+ y+ z \right )xyz$$
$$\underbrace{xy}_{\geqq 0}\left ( x^{2}+ z^{2} \right )+ \underbrace{z\left ( x+ y \right )}_{\geqq 0}\left ( y^{2}+ zx \right )\geqq 2\left ( x+ y+ z \right )xyz$$
Giả sử $z= \min \left ( x,\,y,\,z \right )$
Nếu $xyz= 0$ thì hiển nhiên bất đẳng thức đúng!
Nếu $xyz\neq 0$ thay $\left ( x,\,y,\,z \right )\rightarrow \left ( -\,x,\,-\,y,\,-\,z \right )$ thì bất đẳng thức không đổi nên ta có thể giả sử $xyz\leqq 0$, mà $z= \min \left ( x,\,y,\,z \right )$ nên $xy\geqq 0$. Khi đó:
$$\sum\limits_{cyc} x^{4}- xyz\left ( \sum\limits_{cyc}x \right )= \left \{ \left ( x+ y \right )^{2}+ z^{2} \right \}\left ( x- y \right )^{2}+ \left [ \left ( x- z \right )\left ( y- z \right )+ xy \right ]\left ( x- z \right )\left ( y- z \right )\geqq 0$$
Spoiler
$$\left\{\begin{matrix} \left ( x^{2}+ y^{2}+ z^{2} \right )^{^{2}}\geqq 3\,\left ( x^{3}y+ y^{3}z+ z^{3}z \right )\\ x^{3}y+ y^{3}z+ z^{3}z\geqq xyz\left ( x+ y+ z \right ) \end{matrix}\right.$$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh