3 replies to this topic

[anhquannbk]

Tìm

$\displaystyle \lim_{x\to 0}(\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\dfrac{1}{x}(A^n-E)))$

trong đó $E$ là ma trận đơn vị

và $A = \begin{bmatrix} 1 & \dfrac{x}{n}\\ -\dfrac{x}{n} & 1 \end{bmatrix}, n \in \mathbb{N^*}$

Edited by anhquannbk, 22-07-2018 - 18:12.

[An Infinitesimal]

Tìm

$\displaystyle \lim_{x\to 0}(\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\dfrac{1}{x}(A^n-E)))$

trong đó $E$ là ma trận đơn vị

và $A = \begin{bmatrix} 1 & \dfrac{x}{n}\\ -\dfrac{x}{n} & 1 \end{bmatrix}, n \in \mathbb{N^*}$

 

Giới hạn bên trong tiến về ma trân không (ma trận vuông cấp 2). 

[anhquannbk]

Giới hạn bên trong tiến về ma trân không (ma trận vuông cấp 2)

Sao lại tiến về ma trận không?

[An Infinitesimal]

Mình nhìn hơi vội! Để mình xử lý lại!

 

 

 

 

 

Nháp: 

Ta có 

$A = \begin{bmatrix} 1 & \dfrac{x}{n}\\ -\dfrac{x}{n} & 1 \end{bmatrix}= E+\frac{1}{n}B,$ trong đó $B= \begin{bmatrix} 0 & x\\ -x & 0 \end{bmatrix}$

$A^n-E=B+ \sum_{k=2}^n\frac{C_n^k}{n^k}B^k.$

 

Sao lại tiến về ma trận không?

 

Mình nhìn hơi vội! Để mình xử lý lại!

 

 

 

 

 

Nháp: 

Ta có 

$A = \begin{bmatrix} 1 & \dfrac{x}{n}\\ -\dfrac{x}{n} & 1 \end{bmatrix}= E+\frac{1}{n}B,$ trong đó $B= \begin{bmatrix} 0 & x\\ -x & 0 \end{bmatrix}$

$A^n-E= \sum_{k=1}^n\frac{C_n^k}{n^k}B^k.$

Đặt $S_n= E+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}B^k.$

 

 

Nhận xét:

1) Dãy $\left\{S_n\right\}$ hội tụ về $S:=e^{B}.$

 

2) Dãy $\left\{A^n-S_n\right\}$ hội tụ về  $0.$

 

(Cần kiểm tra 2.)

 

$A^n-S_n= \sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}\left(\displaystyle\prod_{i=1}^{n-k}(1-\frac{k}{n})-1\right)B^k.$

Edited by An Infinitesimal, 26-07-2018 - 20:05.