Với mỗi tích $x_ix_{i+1}$ nhận 1 trong 3 giá trị $1;7-\sqrt{3};7+sqrt{3}$. gọi số các giá trị $1;7-\sqrt{3};7+sqrt{3}$ trong số 1009 giá trị $x_{2k+1}x_{2k+2}, k=0,1,...,1008$, lần lượt là a,b,c thì: $S=a+b(7-\sqrt{3})+c(7+\sqrt{3})=(a+7b+7c)+\sqrt{3}.(c-b)$, do đó $c=b$ vì nếu ko S sẽ vô tỉ. Hay $S=a+14b$.
Mà số các giả trị đúng bằng 1009 hay $a+2b=1009$, phương trình này có 505 cặp nghiệm nguyên ko âm (a,b)
Ngược lại với mỗi giá trị tăng dần của b, thì S sau > S trước, do vậy 505 giá trị này là phân biệt, vậy có nhiều nhất 505