8 replies to this topic

[MoMo123]

Cho $\Delta ABC$, trọng tâm $G$ và điểm $M$ nằm trong tam giác. $AM,BM,CM$ theo thứ tự cắt $BC,CA,AB$ tại $A_{1}, B_{1},C_{1}$ .$A_{2},B_{2},C_{2}$ là điểm đối xứng của M qua trung điểm $B_{1}C_{1},C_{1}A_{1},A_{1}B_{1}$. Chứng minh $AA_{2},BB_{2},CC_{2}$ đồng quy tại một điểm thuộc MG.

P/s: Mọi người vui lòng chỉ rõ giùm mình hướng và cách giải bài này với ạ, mình vẫn đang ngờ ngợ

Edited by MoMo123, 05-08-2018 - 21:37.

[anhquannbk]

Cho $\Delta ABC$, trọng tâm $G$ và điểm $M$ nằm trong tam giác. $AM,BM,CM$ theo thứ tự cắt $BC,CA,AB$ tại $A_{1}, B_{1},C_{1}$ .$A_{2},B_{2},C_{2}$ là điểm đối xứng của M qua trung điểm $B_{1}C_{1},C_{1}A_{1},A_{1}B_{1}$. Chứng minh $AA_{2},BB_{2},CC_{2}$ đồng quy tại một điểm thuộc MG.

P/s: Mọi người vui lòng chỉ rõ giùm mình hướng và cách giải bài này với ạ, mình vẫn đang ngờ ngợ

Bài này có trong tài liệu chuyên Toán 10 Hình học.

[MoMo123]

Bài này có trong tài liệu chuyên Toán 10 Hình học.

Thì em lấy trong sách đó ra mà ạ, cơ mà em không biết làm nên mới đăng lên đây ạ, anh cho em tham khảo cách giải với ạ, em cảm ơn nhiều.

[anhquannbk]

Thì em lấy trong sách đó ra mà ạ, cơ mà em không biết làm nên mới đăng lên đây ạ, anh cho em tham khảo cách giải với ạ, em cảm ơn nhiều.

có lời giải mà em

[hozymary]

Bài này chủ yếu là dựa vào hai bổ đề:

1) Cho điểm $M$ bất kì trong tam giác $ABC$. Gọi $M_1, M_2, M_3$ lần lượt là điểm đổi xứng của $M$ qua trung điểm các cạnh $BC,CA,AB$ thì $AM_1, BM_2, CM_3$ đồng quy

Chứng minh đơn giản, để ý các hình bình hành được tạo ra. Ba đường đó đồng quy tại trung điểm mỗi đường.

2) Cho tứ giác $ABCD$, gọi $AB$ cắt $CD$ tại $E$, $AD$ cắt $BC$ tại $F$ thì trung điểm $AC, BD, EF$ thẳng hàng (nói cách khác, trung điểm của các đường chéo của một tứ giác toàn phần thẳng hàng)

Đường thằng này gọi là đường thẳng Newton-Gauss, có thể chứng minh bằng cách dùng diện tích hình bình hành hoặc định lý Menelaus.

Quay trở lại bài toán. Gọi $M_1, M_2, M_3$ là điểm đối xứng của $M$ qua trung điểm $BC,CA,AB$. Áp dụng bổ đề 2 cho ta $A, A_2, M_1$ thẳng hàng. Tương tự $B, B_2, M_2$ thẳng hàng và $C, C_2, M_3$ thẳng hàng. Như vậy ta cần chứng minh $AM_1, BM_2, CM_3$ đồng quy, chính là bổ đề 1 ở trên.

Mặt khác chúng đồng quy tại trung điểm $AM_1$, mà dễ dàng chứng minh được $G$ là trọng tâm tam giác $AMM_1$ nên suy ra điểm đồng quy thuộc $MG$

 

P/S: không biết có lời giải nào hay hơn bằng vectơ không, bài này là toán 10 mà nhỉ

[MoMo123]

Bài này chủ yếu là dựa vào hai bổ đề:
1) Cho điểm $M$ bất kì trong tam giác $ABC$. Gọi $M_1, M_2, M_3$ lần lượt là điểm đổi xứng của $M$ qua trung điểm các cạnh $BC,CA,AB$ thì $AM_1, BM_2, CM_3$ đồng quy
Chứng minh đơn giản, để ý các hình bình hành được tạo ra. Ba đường đó đồng quy tại trung điểm mỗi đường.
2) Cho tứ giác $ABCD$, gọi $AB$ cắt $CD$ tại $E$, $AD$ cắt $BC$ tại $F$ thì trung điểm $AC, BD, EF$ thẳng hàng (nói cách khác, trung điểm của các đường chéo của một tứ giác toàn phần thẳng hàng)
Đường thằng này gọi là đường thẳng Newton-Gauss, có thể chứng minh bằng cách dùng diện tích hình bình hành hoặc định lý Menelaus.
Quay trở lại bài toán. Gọi $M_1, M_2, M_3$ là điểm đối xứng của $M$ qua trung điểm $BC,CA,AB$. Áp dụng bổ đề 2 cho ta $A, A_2, M_1$ thẳng hàng. Tương tự $B, B_2, M_2$ thẳng hàng và $C, C_2, M_3$ thẳng hàng. Như vậy ta cần chứng minh $AM_1, BM_2, CM_3$ đồng quy, chính là bổ đề 1 ở trên.
Mặt khác chúng đồng quy tại trung điểm $AM_1$, mà dễ dàng chứng minh được $G$ là trọng tâm tam giác $AMM_1$ nên suy ra điểm đồng quy thuộc $MG$
 
P/S: không biết có lời giải nào hay hơn bằng vectơ không, bài này là toán 10 mà nhỉ

Làm sao để $A,A_{2},M_{1}$ thẳng hàng theo bổ đề 2 vậy ạ, em chưa hình dung ra lắm

có lời giải mà em

Không có em mới đăng lên đây chứ

Edited by MoMo123, 06-08-2018 - 23:32.

[hozymary]

Làm sao để $A,A_{2},M_{1}$ thẳng hàng theo bổ đề 2 vậy ạ, em chưa hình dung ra lắm

Gọi trung điểm $AM$ là $X$, trung điểm $B_1C_1$ là $Y$ và trung điểm $BC$ là $Z$ thì $X,Y,Z$ thẳng hàng. Đồng thời $Y$ là trung điểm $MA_2$, $Z$ là trung điểm $MM_1$

Nên ta có $AA_2\parallel XY$ và $AM_1\parallel XZ$ (đường trung bình), suy ra ba điểm $A,A_2,M_1$ thẳng hàng

 

P/S: em gì, mình cùng tuổi mà

[Tea Coffee]

Làm sao để $A,A_{2},M_{1}$ thẳng hàng theo bổ đề 2 vậy ạ, em chưa hình dung ra lắm

Không có em mới đăng lên đây chứ

Có lời giải chứ.  Lời giải trong quyển bài tập ấy.

[AnhTran2911]

Đồng quy tại điểm isotomcomplement của M wrt ABC