Lấy 4 điểm ở miền trong của 1 tứ giác lồi để cùng với 4 đỉnh ta được 8 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Biết diện tích tứ giác là 1. CMR: tồn tại 1 tam giác có 3 đỉnh lấy từ 8 điểm đã cho có diện tích không vượt quá $\frac{1}{10}$. Tổng quát hóa bài toán cho n-giác lồi với n điểm nằm trong đa giác đó
CMR: tồn tại 1 tam giác có 3 đỉnh lấy từ 8 điểm đã cho có diện tích không vượt quá 1/10
#2
Đã gửi 06-08-2018 - 10:39
Gọi 4 đỉnh của tứ giác là $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}$ , tạo thành tứ giác $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}$
Gọi 4 điểm trong tứ giác là $B_{1},B_{2},B_{3},B_{4}$
Xét điểm $B_{1}$ , tạo với 4 đỉnh tứ giác 4 tam giác là : $\Delta B_{1}A_{1}A_{2} ,\Delta B_{1}A_{2}A_{3} ,\Delta B_{1}A_{3}A_{4},\Delta B_{1}A_{4}A_{1}$
Xét điểm $B_{2}$ :
Trường hợp 1 : $B_{2}$ nằm trong 1 trong 4 tam giác: $\Delta B_{1}A_{1}A_{2} ,\Delta B_{1}A_{2}A_{3} ,\Delta B_{1}A_{3}A_{4},\Delta B_{1}A_{4}A_{1}$.
KMTTQ , tam giác đó là $\Delta B_{1}A_{1}A_{2}$
Số tam giác tạo thành tăng thêm 2 ( Từ $\Delta B_{1}A_{1}A_{2}$ thành $\Delta B_{2}B_{1}A_{2}$ ,$\Delta B_{2}B_{1}A_{1},\Delta B_{2}A_{1}A_{2}$
Trường hợp 2 : $B_{2}$ nằm trên 1 trong 4 cạnh :$B_{1}A_{1};B_{1}A_{2};B_{1}A_{3};B_{1}A_{4}$
KMTTQ, cạnh đó là $B_{1}A_{2}$
Số tam giác được tạo thành thêm 2 ( Từ $\Delta B_{1}A_{1}A_{2};\Delta B_{1}A_{2}A_{3}$ thành $\Delta B_{2}B_{1}A_{1};\Delta B_{2}B_{1}A_{3};\Delta B_{2}A_{2}A_{1};\Delta B_{2}A_{2}A_{3}$)
Cứ từ điểm thứ 2, số tam giác tạo thành luôn tăng thêm 2. Như vậy số tam giác tạo thành là $4+2+2+2=10$
Tồn tại 1 trong số 10 tg đó , 1 tg có diện tích nhỏ hơn $\frac{1}{10}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BurakkuYokuro11: 06-08-2018 - 11:47
- Nguyen Hoang Lam, Tantran2510, thien huu và 3 người khác yêu thích
WangtaX
#3
Đã gửi 06-08-2018 - 10:57
Đại khái thì :
Tổng quát hóa bài toán cho n-giác lồi với n điểm nằm trong đa giác đó
Xét lần lượt n điểm trong đa giác đó
Điểm đầu tiên tạo ra : n tam giác
Điểm thứ 2 đến điểm thứ n ( Có n-1 điểm ) lần lượt tạo ra 2 tam giác ( Tham khảo bài trên)
Nên số tam giác tạo thành là [n +2(n-1)] , tồn tại 1 tam giác nhỏ hơn $\frac{1}{3n-2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BurakkuYokuro11: 08-08-2018 - 20:48
- Nguyen Hoang Lam, Tantran2510, thien huu và 3 người khác yêu thích
WangtaX
#4
Đã gửi 06-08-2018 - 20:30
Gọi 4 đỉnh của tứ giác là $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}$ , tạo thành tứ giác $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}$
Gọi 4 điểm trong tứ giác là $B_{1},B_{2},B_{3},B_{4}$
Xét điểm $B_{1}$ , tạo với 4 đỉnh tứ giác 4 tam giác là : $\Delta B_{1}A_{1}A_{2} ,\Delta B_{1}A_{2}A_{3} ,\Delta B_{1}A_{3}A_{4},\Delta B_{1}A_{4}A_{1}$
Xét điểm $B_{2}$ :
Trường hợp 1 : $B_{2}$ nằm trong 1 trong 4 tam giác: $\Delta B_{1}A_{1}A_{2} ,\Delta B_{1}A_{2}A_{3} ,\Delta B_{1}A_{3}A_{4},\Delta B_{1}A_{4}A_{1}$.
KMTTQ , tam giác đó là $\Delta B_{1}A_{1}A_{2}$
Số tam giác tạo thành tăng thêm 2 ( Từ $\Delta B_{1}A_{1}A_{2}$ thành $\Delta B_{2}B_{1}A_{2}$ ,$\Delta B_{2}B_{1}A_{1},\Delta B_{2}A_{1}A_{2}$
Trường hợp 2 : $B_{2}$ nằm trên 1 trong 4 cạnh :$B_{1}A_{1};B_{1}A_{2};B_{1}A_{3};B_{1}A_{4}$
KMTTQ, cạnh đó là $B_{1}A_{2}$
Số tam giác được tạo thành thêm 2 ( Từ $\Delta B_{1}A_{1}A_{2};\Delta B_{1}A_{2}A_{3}$ thành $\Delta B_{2}B_{1}A_{1};\Delta B_{2}B_{1}A_{3};\Delta B_{2}A_{2}A_{1};\Delta B_{2}A_{2}A_{3}$)
Cứ từ điểm thứ 2, số tam giác tạo thành luôn tăng thêm 2. Như vậy số tam giác tạo thành là $4+2+2+2=10$
Tồn tại 1 trong số 10 tg đó , 1 tg có diện tích nhỏ hơn $\frac{1}{10}$
Đại khái thì :
Tổng quát hóa bài toán cho n-giác lồi với n điểm nằm trong đa giác đó
Xét lần lượt n điểm trong đa giác đó
Điểm đầu tiên tạo ra : n tam giác
Điểm thứ 2 đến điểm thứ n ( Có n-1 điểm ) lần lượt tạo ra 2 tam giác ( Tham khảo bài trên)
Nên số tam giác tạo thành là [n +2(n-1)] , tồn tại 1 tam giác nhỏ hơn $\frac{1}{3n-2}$
cảm ơn ạ
- BurakkuYokuro11 yêu thích
#5
Đã gửi 07-08-2018 - 22:34
Gọi 4 đỉnh của tứ giác là $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}$ , tạo thành tứ giác $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}$
Gọi 4 điểm trong tứ giác là $B_{1},B_{2},B_{3},B_{4}$
Xét điểm $B_{1}$ , tạo với 4 đỉnh tứ giác 4 tam giác là : $\Delta B_{1}A_{1}A_{2} ,\Delta B_{1}A_{2}A_{3} ,\Delta B_{1}A_{3}A_{4},\Delta B_{1}A_{4}A_{1}$
Xét điểm $B_{2}$ :
Trường hợp 1 : $B_{2}$ nằm trong 1 trong 4 tam giác: $\Delta B_{1}A_{1}A_{2} ,\Delta B_{1}A_{2}A_{3} ,\Delta B_{1}A_{3}A_{4},\Delta B_{1}A_{4}A_{1}$.
KMTTQ , tam giác đó là $\Delta B_{1}A_{1}A_{2}$
Số tam giác tạo thành tăng thêm 2 ( Từ $\Delta B_{1}A_{1}A_{2}$ thành $\Delta B_{2}B_{1}A_{2}$ ,$\Delta B_{2}B_{1}A_{1},\Delta B_{2}A_{1}A_{2}$
Trường hợp 2 : $B_{2}$ nằm trên 1 trong 4 cạnh :$B_{1}A_{1};B_{1}A_{2};B_{1}A_{3};B_{1}A_{4}$
KMTTQ, cạnh đó là $B_{1}A_{2}$
Số tam giác được tạo thành thêm 2 ( Từ $\Delta B_{1}A_{1}A_{2};\Delta B_{1}A_{2}A_{3}$ thành $\Delta B_{2}B_{1}A_{1};\Delta B_{2}B_{1}A_{3};\Delta B_{2}A_{2}A_{1};\Delta B_{2}A_{2}A_{3}$)
Cứ từ điểm thứ 2, số tam giác tạo thành luôn tăng thêm 2. Như vậy số tam giác tạo thành là $4+2+2+2=10$
Tồn tại 1 trong số 10 tg đó , 1 tg có diện tích nhỏ hơn $\frac{1}{10}$
KMTTQ là gì ạ .-.
- BurakkuYokuro11 yêu thích
#6
Đã gửi 07-08-2018 - 22:39
Không mất tính tổng quát
KMTTQ là gì ạ .-.
- Nguyen Hoang Lam, Tantran2510, Huy Ma và 1 người khác yêu thích
WangtaX
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học tổ hợp
Toán Trung học Cơ sở →
Toán rời rạc →
Hình thang trong đa giác đềuBắt đầu bởi HHg, 13-07-2019 hình học tổ hợp |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Cho 6 đường tròn cùng đi qua một điểm A. CMR có một hình tròn chứa tâm của hình tròn khácBắt đầu bởi nguyenthaison, 17-08-2017 hình học tổ hợp, hình học 9 |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Liệu có thể tìm được 1 tam giác có 3 điểm được đánh dấu bởi một màu và 3 cạnh cũng được đánh dấu bởi một màuBắt đầu bởi mam1101, 28-01-2016 hình học tổ hợp |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Chứng minh $S_{ABC}\leq \frac{1}{2}S_{MNPQ}$Bắt đầu bởi bangbang1412, 11-09-2013 hình học tổ hợp, diện tích |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Chứng minh rằng tồn tại một cạnh của đa giác không bị một đường thẳng nào cắt ở bên trongBắt đầu bởi bangbang1412, 03-08-2013 hình học phẳng, hình học tổ hợp và . |
|
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh